Poissonprozess

29.01.2010, 17:25

Oya

Poissonprozess

Moin,

sitze hier gerade ueber einer Aufgabe zu nichthomogenen Poissonprzessen.
Und zwar ist dort eine tankstelle gegeben, die 24 Std offen hat. Zwischen 0 und 7 Uhr kommen jede Stunde gemittelt 2 Kunden. Zwischen 7 und 17.00 Uhr steigt die Anzahl dann liner, bis sie eine Zahl von 20 Kunden erreicht hat, bleibt dann bis 22 Uhr konstant und sinkt dann wieder linear auf 2 Kunden.
Damit ist das ganze ja ein nichthomogener Poissonprozess.
Nun soll ich die Erwartete Anzahl der Kunden zwischen 8 und 10 Uhr angeben. (Durch hingucken weiss man ja, dass die erwartete Anzahl der Kunden jede Stunde um 1,8 steigt). Es gibt da ja aber auch eine formel sowohl fuer die Wahrscheinlichkeit, dass n Kunden kommen, als auch fuer den Erwartungswert:
$\begin{eqnarray*} E[P_t] = \int_0^t \! \lambda(u) \, du \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P_t - P_s ist verteilt nach P_{\int_s^t \! \lambda(u) \, du} \end{eqnarray*}$
wobei sich das Gweicht ueber dieses Integral berechnet.
Mein Problem ist jetzt aber, dass ich nicht so genau weiss, was ich damit anfangen soll. Ich will ja E[X(10) - X(8)] berechnen.
Ist das dann E[X(10)] - E[X(8)]?
Aber selbst wenn das so ist, wie bekomme ich dann das linerae Wachstum auf mein lambda in dem Integral des Erwartungswertes angewendet?

Waere super, wenn mir jemand weiterhelfen koennte

31.01.2010, 13:02

Royal Tomek

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Was weißt du bereits über Poisson Prozesse? Was die Mittelwertfunktion ist, weißt du?

$\begin{eqnarray*} \mu(s,t]=\int_s^t~\lambda(y)~dy \end{eqnarray*}$

Jetzt musst eigentlich nur mehr den Zusammenhang zwischen Standardpoissonprozess und einem allgemeinen PP kennen.

Sei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ die Mittelwertfunktion von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_{sta} \end{eqnarray*}$ ein StandardPP, dann ist $\begin{eqnarray*} N_{sta}(\mu(t)) \end{eqnarray*}$ ein Poissonprozess mit Mittelwertfkt $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

Du suchst nun $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[N(10)-N(8)]=\mathbb{E}[N(10)]-\mathbb{E}[N(8)]=\mu(10)-\mu(8) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ musst dir halt noch berechnen, ist aber ganz leicht.

31.01.2010, 16:25

Oya

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Da stimmt, man sollte annehmen, dass das nicht so schwer ist, das Problem ist, dass sich das Ergebnis nicht mit dem deckt, was ich mir aufgemalt habe. Bedeutet wohl. dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe. Für das Gewicht zwischen 7 und 17 Uhr habe ich $\begin{eqnarray*} \lambda (t) = 2+\frac{18}{10} (t-7) \end{eqnarray*}$ .
Was passen dürfte.
Nun muss sich doch einmal zwischen Null und 10 und einmal zwischen Null und Acht integrieren und die Differenz bilden. Das Problem ist, dass dort 11,2 rauskommt, es aber doch eigentlich 13 Kunden sein müssten, denn bei einem anstieg von 1,8 Personen pro Stunde nach 7 Uhr erwattet man zwischen 7 und 8 3,8 Kunden, zwischen 8 und 9 5,6 und zwischen 9 und 10 Uhr 7,4 Kunden. Die letzten beiden addiert sind aber 13.

Wo liegt denn mein Fehler (Die Stammfunktion lautet doch $\begin{eqnarray*} -10\frac{3}{5} t+\frac{18}{10} t^2 \end{eqnarray*}$ )

31.01.2010, 19:36

Royal Tomek

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Zitat:

Original von Oya
Das Problem ist, dass dort 11,2 rauskommt, es aber doch eigentlich 13 Kunden sein müssten, denn bei einem anstieg von 1,8 Personen pro Stunde nach 7 Uhr erwattet man zwischen 7 und 8 3,8 Kunden, zwischen 8 und 9 5,6 und zwischen 9 und 10 Uhr 7,4 Kunden. Die letzten beiden addiert sind aber 13.

11.2 stimmt schon (außer ich hab mich auch verrechnet). Du gehst davon aus, dass sich die erwartete Anzahl der Kunden gleich am Anfang der Stunde um 1.8 erhöht, aber dies ist erst am ENDE der Stunde der Fall, dazwischen hast du ebenfalls linearen Anstieg. Das heißt, desto weiter die Stunde fortgeschritten, desto größer deine Instensität $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Hoffe, jetzt ist alles klar.

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