Sätze durch Quantoren ausdrücken

15.10.2006, 19:06

vektorraum

Sätze durch Quantoren ausdrücken

Hi! Wir sollen als Übung einige Sätze mit Hilfe von Quantoren ausdrücken, in dem wir aber nur $\begin{eqnarray*} \exists, \forall, \vee, \wedge,\Rightarrow \end{eqnarray*}$ verwenden.

1. Es gibt beliebig große x, so dass f(x)>x ist: $\begin{eqnarray*} \exists x: f(x)>x \end{eqnarray*}$

2. Für alle genügend großen x gilt f(x)>x: $\begin{eqnarray*} \forall x: f(x)>x \end{eqnarray*}$
Ich wusste hier nicht so genau, wie ich groß ausdrücken könnte? Wenns nicht stimmt, wie kann man das denn sonst formulieren???

3. Wenn nur $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ nahe genug an einander liegen, gilt f(x,y)<x:

$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \exists \varepsilon >0 \forall y\in \mathbb R: \left|x-y\right|<\varepsilon \Rightarrow f(x,y)<x \end{eqnarray*}$

4. Wenn bei gegebenen $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ nahe genug an x liegt, so gilt: f(x,y)<x
Hier weiß ich nicht, wie man ausdrücken kann, dass y nahe an x liegen soll - etwa auch über den Abstand und einem gewissen Epsilon...

Ich freu mich über jede Hilfe! Danke.

15.10.2006, 19:17

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo!
Beim ersten hast du nur ausgedrückt, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt, sodass ... gilt, aber es soll ja für beliebig große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten.
Bei 2. ist es ganz ähnlich. Da hast du jetzt geschrieben, dass es für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt.
Bei 3. sollte es zunächst mal ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ sein. Und dann sollen sie nahe aneinander liegen, d.h. du musst ihren Abstand nach oben und nicht nach unten abschätzen. Desweiteren muss das, was du bei 3. hingeschrieben hast, von der Reihenfolge her er zu 4.! Bei 3. musst du etwas anderes schreiben.

Gruß MSS

15.10.2006, 19:41

JochenX

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Zitat:

Ich wusste hier nicht so genau, wie ich groß ausdrücken könnte? Wenns nicht stimmt, wie kann man das denn sonst formulieren???

"es gibt ein beliebig großes x, für das gilt...." kannst du z.B. so ausdrücken:
"für alle y gibt es ein x mit x größer y, für das gilt....."

In Quantorenschreibweise bringen musst du es natürlich immer noch selbst.

15.10.2006, 19:43

vektorraum

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@MSS:
Bei erstens und zweitens ist mir die "Übersetzung" in die andere Richtung klar, aber ich weiß net, wie ich das für ein großes oder genügend großes ausdrücken soll. Soll ich da evtl mit unterer Schranke arbeiten und so, oder ab einem bestimmten x0???
Sorry, hab es mal geändert, hab wohl zu schnell getippt - klar soll Epsilon größer Null sein, und auch nach unten abgeschätzt werden!
Aber wie kann man sonst den Unterschied zu 3. formulieren???

15.10.2006, 19:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von vektorraum
Soll ich da evtl mit unterer Schranke arbeiten und so, oder ab einem bestimmten x0???

Genau so, ja! Siehe auch Jochens Hinweis.
Bei 4. ist das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vorgegeben und dann soll das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nahe dran liegen. Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Diese Abhängigkeit ist aber beim dritten Beispiel nicht gegeben!

Gruß MSS

edit:

Zitat:

Original von vektorraum
und auch nach unten abgeschätzt werden!

Nein, es soll nach oben abgeschätzt werden!

15.10.2006, 19:48

vektorraum

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@LOED:

$\begin{eqnarray*} \forall y \exists y, x>y: f(x)>x \end{eqnarray*}$

Stimmts??

15.10.2006, 19:52

Mathespezialschüler

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Wenn du

$\begin{eqnarray*} \forall\ y\ \exists\ x,\ x>y\ :\ f(x)>x \end{eqnarray*}$

meinst, dann ist es richtig! Freude

Besser wäre es vielleicht, wenn man das Ganze so schreibt:

$\begin{eqnarray*} \forall\ y\ \exists\ x\ :\ x>y\ \wedge\ f(x)>x \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

15.10.2006, 20:01

vektorraum

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@MSS: Ja, na klar hab ich das gemeint - stehe heute irgendwie aufm Schlauch traurig

Für zweitens müsste das ganze dann doch auch so ähnlich umzuformulieren sein, oder??? Aber wie ich bei drittens in Abhängigkeit von Epsilon kriegen soll, weiß ich leider net...

vielen Dank erstmal!!!

15.10.2006, 20:21

Mathespezialschüler

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Ja, 2. geht ähnlich. Bei 3. machst du einfach genau das, was du schon oben geschrieben hast, nur dass du $\begin{eqnarray*} \forall\ x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists\ \varepsilon \end{eqnarray*}$ vertauschen musst.

Gruß MSS

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