Approximation Integral m.H. Treppenfunktion (Ober-/Untersumme)

29.01.2010, 20:20

crosell

Approximation Integral m.H. Treppenfunktion (Ober-/Untersumme)

Hi Leute,

mein letzter post is schon nen Weilchen her und irgendwie hat auch keiner drauf geantwortet (außer ich selbst dann am Ende *lach*), aber hab grad was wo ich net so richtig weiterkomm und vllt. klappts ja diesmal. smile

Und zwar möchte ich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{x^2} \, dx=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\,\,(0<a<b) \end{eqnarray*}$
m.H. von Treppenfunktionen approximieren. (bzw. über die Konstruktion von Ober-/Untersummen, für die gesuchte Fläche).

Mein Ansatz dazu war bisher:
Ich teile das das Intervall $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ in äquidistante Teilintervalle der Breite $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ , dann hat ein Stelle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ die Darstellung $\begin{eqnarray*} x_k=a+k\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ .
Die Funktion ist streng monoton fallend und ich bilde die Untersumme über die Flächen die aufgespannt werden durch das Produkt der Teilintervallbreite und dem kleinsten Funktionswert auf den Teilintervallen $\begin{eqnarray*} [x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ also in dem Fall $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ .

Damit komme ich auf folgenden Zusammenhang für die Untersumme:
$\begin{eqnarray*} S_u=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(a+k\frac{b-a}{n})^{2}}*(\frac{b-a}{n}) \end{eqnarray*}$ .
Den hab ich soweit umformen können, dass ich den Ausdruck im Nenner des ersten Faktors auf einen Hauptnenner gebracht hab, dann hab ich $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\frac{b-a}{n}) \end{eqnarray*}$ aus der Summe gezogen da diese ja nicht mehr vom Index abhängen. Bleibt also noch über:
$\begin{eqnarray*} S_u=n(b-a)\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(an+k(b-a))^2} \end{eqnarray*}$ .
Tja und ab hier hängts bei mir irgendwie, das Ziel ist klar, den Summenwert bestimmen und dann den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} S_u \end{eqnarray*}$ betrachten, dabei sollte ja dann quasi das bekannte Integral in den Grenzen von a nach b enstehen, die Obersumme unterscheidet sich ja meist nur um ein Vorzeichen irgendwo, aber ich brauch erstmal irgendnen Hinweis, wie ich mit der Summe weiterkomme. Ich habs ausmultipliziert und hin und hergeschoben, auch versucht den "Wert" der Summe heuristisch zu ermitteln, aber die Terme werden durch die Quadrate und die immer ungleichen Nenner einfach nur unübersichtlich.

Wär echt erfreut, wenn jemand am Wochenende kurz ma draufschauen könnte, um mir ein wenig weiterzuhelfen. Ansonsten wünsche ich natürlich erstmal allen ein schönes Wochenende Augenzwinkern

03.02.2010, 20:16

crosell

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RE: Approximation Integral m.H. Treppenfunktion (Ober-/Untersumme)
Zur Lösung des Problems:

Man zerlege $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ äquidistant in Teilintervalle der Breite $\begin{eqnarray*} \Delta x_i \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aus der Stetigkeit der Funktion nach Zwischenwertsatz für ein i-tes Teilintervall $\begin{eqnarray*} [x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ die Existenz einer Stelle $\begin{eqnarray*} \xi_i \end{eqnarray*}$ an der der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(\xi_i)=\frac{1}{x_{i-1}x_i} \end{eqnarray*}$ angenommen wird. Setze nun die Folge der Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi_n=f(\xi_i) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,...,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \Phi_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx =\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \Phi_n(\xi_i)\Delta x_i=\lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_{i-1}x_i}\Delta x_i=\lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{1}{x_{i-1}}-\frac{1}{x_i}\right)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ .

Es wird praktisch die Funktion nicht durch Funktionswerte an den jeweiligen Intervallenden sondern im innern der Teilintervalle approximiert, wodurch der "Rechenaufwand" drastisch reduziert wird.

03.02.2010, 20:45

schultz

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RE: Approximation Integral m.H. Treppenfunktion (Ober-/Untersumme)

Zitat:

Original von crosell
Zur Lösung des Problems:

Man zerlege $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ äquidistant in Teilintervalle der Breite $\begin{eqnarray*} \Delta x_i \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aus der Stetigkeit der Funktion nach Zwischenwertsatz für ein i-tes Teilintervall $\begin{eqnarray*} [x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ die Existenz einer Stelle $\begin{eqnarray*} \xi_i \end{eqnarray*}$ an der der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(\xi_i)=\frac{1}{x_{i-1}x_i} \end{eqnarray*}$ angenommen wird. Setze nun die Folge der Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi_n=f(\xi_i) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,...,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \Phi_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx =\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \Phi_n(\xi_i)\Delta x_i=\lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_{i-1}x_i}\Delta x_i=\lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{1}{x_{i-1}}-\frac{1}{x_i}\right)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ .

Es wird praktisch die Funktion nicht durch Funktionswerte an den jeweiligen Intervallenden sondern im innern der Teilintervalle approximiert, wodurch der "Rechenaufwand" drastisch reduziert wird.

"Kannst du von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{1}{x_{i-1}}-\frac{1}{x_i}\right) \end{eqnarray*}$ einfach auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}-\frac{1}{b} . \end{eqnarray*}$ schließen?wieso ist x i-1 dann a und xi gleich b wenn n gegen unendlich geht?müsste das nicht eher der fall sein wenn n gleich 0 ist, du also keine zerlegung hast?
sorry wenn ich das was falsch verstanden hab...

03.02.2010, 20:57

crosell

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RE: Approximation Integral m.H. Treppenfunktion (Ober-/Untersumme)
Ja man kann direkt schließen, denn das ganze Funktioniert nach dem Prinzip einer Teleskopsumme. Schreib dir einfach mal die ersten Glieder dieser Reihe hin, du wirst sehen was überbleibt ist gerade $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_0} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n} \end{eqnarray*}$ . Und was diese beiden Intervallstellen sind müsste klar sein oder? Augenzwinkern

03.02.2010, 21:05

schultz

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RE: Approximation Integral m.H. Treppenfunktion (Ober-/Untersumme)
achso stimmt, ist ne weile her das wir das hatten aber jetzt wo dus sagst ists mir klar smile

danke

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