Fehlstände und Vorzeichen einer Permutation

30.01.2010, 12:50	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlstände und Vorzeichen einer Permutation Hi, Lineare Algebra I diesmal, Vor.: $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ und folgende Permutation gegeben $\begin{eqnarray} \{1,\dots,n\}\rightarrow\{1,\dots,n\},\quad i\mapsto n-i+1. \end{eqnarray}$ Beh.: Die Anzahl der Fehlstände ist $\begin{eqnarray} \frac{(n-1)n}{2} \end{eqnarray}$ Das Vorzeichen der Permutation ist gerade, also Vorzeichen +1. Bew.: Sei $\begin{eqnarray} (i,j) \end{eqnarray}$ ein Paar mit $\begin{eqnarray} i,j\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i<j \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} -j<-i \Leftrightarrow n-j+1<n-i+1 \end{eqnarray}$ . Also ex. für jedes solche Paar ein Fehlstand. Anzahl dieser Paare: Für i=1 gibt es für jedes $\begin{eqnarray} j\in\{2,\dots, n\} \end{eqnarray}$ ein Paar (i,j) mit i<j. Also n-1 solcher Paare. Für i=n-1 heißt das, nur 1 Paar, also (i,j=n). Also 1+2+3+...+n-1 solche Paare. Dann mit der gaußschen Summenformel also die Behauptung. 2 Fälle. Aber aud n gerade oder n ungerade folgt immer $\begin{eqnarray} \frac{(n-1)n}{2} \end{eqnarray}$ gerade. Nach Def. heiße Permutationen gerade (Also mit Vorz. +1) falls die Anzahl der Fehlstände gerade ist. Also folgt die Behauptung. Is that true? Grüße, Schmouky
02.02.2010, 15:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlstände und Vorzeichen einer Permutation Sieht gut aus! Gruß, Reksilat.
03.02.2010, 10:44	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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