jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert - Seite 2

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31.01.2010, 23:23

Anne91

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RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert

ich hab das wort blockdiagonalmatrix noch nie gehört ich glaub das hatten wir noch nicht.

31.01.2010, 23:26

der_eine

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Blockdiagonalmatirx? wtf? Big Laugh

det von der gegebenen Matrix, das macht sich mit LaPlace am besten

1* cos²(x)+sin²(x) +0+0= 1

31.01.2010, 23:34

tigerbine

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Sie verdeutlicht eben schön die hier benutze Struktur.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ 0 & \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{vmatrix} = 1 \cdot (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) = 1\cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Was ist denn

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ 0 & -\sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{vmatrix} = \end{eqnarray*}$

31.01.2010, 23:38

Anne91

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$\begin{eqnarray*} 1\cdot \left(\left(- cos^2\alpha \right) + sin^2\alpha \right) \end{eqnarray*}$ ?

31.01.2010, 23:39

der_eine

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-1*(-cos²(x)-sin²(x))=cos²(x)+sin²(x)=1

ui ich dachte eben schon du wärst weg. Das wär echt schade gewesen. Naja auf jeden Fall bis hier hin schonmal vielen Dank!

31.01.2010, 23:40

Anne91

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@ der_eine, hast du schon die anderen aufgaben?

31.01.2010, 23:42

der_eine

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Zitat:

Original von Anne91
$\begin{eqnarray*} 1\cdot \left(\left(- cos^2\alpha \right) + sin^2\alpha \right) \end{eqnarray*}$ ?

Guck dir den LaPlace nochmal an.

Und ne Det von einer 2x2-Matrix bekommst du mit a_11*a_22-a_12*a_21
Also Produkt der Diagonale von links oben minus der von links unten.

2,3,4 habe ich
Bei der Aufgabe 5 hab ich nur die a

Unfassbar wie ungleich schwerer diese letzte Übungsserie im Vergleich zu vorher ist.

31.01.2010, 23:43

Anne91

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habs gemerkt sry

31.01.2010, 23:45

Anne91

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die andren hab ich gar net hinbekommen und ich brauch in dieser und letzten serie insgesamt 19,5 punkte. ich frag mich wie ichs machen soll

31.01.2010, 23:46

tigerbine

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Zitat:

Original von der_eine
-1*(-cos²(x)-sin²(x))=cos²(x)+sin²(x)=1

korrekt. Was ist in dieser Aufgabe gesucht? Eine neue Basis, so dass wenn man eine SO-Matrix bzgl. dieser darstellt, sie die Gestalt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ 0 & \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{pmatrix} , \alpha \in \left[0,2\pi \right[ \end{eqnarray*}$

hat. Wie muss man nun diese neue Basis wählen. Tipp1 war ja, es gibt einen reellen EW und dazu gibt es auch einen Eigenraum. Da wird man wohl einen Vektor raus nehmen und dann zu einer ONB ergänzen.

31.01.2010, 23:53

Anne91

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wie berechnet man den zugrhörigen eigenvektor?

31.01.2010, 23:55

der_eine

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Wie können wir uns einen EV rauspicken aus dem Eigenraum wenn wir noch keinen bestimmt haben?
Wir wissen lediglich dass die orthonormale Matirx die EW +-1 besitzt.
Einstzen kann man ja jetzt auch schlecht ohne explizite Matrix.

31.01.2010, 23:55

Anne91

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kann ich da die formel $\begin{eqnarray*} \left(A- \lambda \cdot Id\right) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ benutzen? was ist dann A? die gegebene matrix?

31.01.2010, 23:56

tigerbine

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Man braucht den EV nicht konkret zu kennen. Nenn ihn v. Wegen der ONB sollte er als normiert angenommen werden.

31.01.2010, 23:58

Anne91

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was heißt ONB?

31.01.2010, 23:59

der_eine

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orthonormalbasis

01.02.2010, 00:07

der_eine

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Also wenn A unsere gegebene Matrix ist suchen wir eine Basis B so dass
$\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ 0 & \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{pmatrix} , \alpha \in \left[0,2\pi \right[ \end{eqnarray*}$

Richtig?

und $\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} & ? & ? \\ v & ? & ? \\ & ? & ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

@ Anne ich adde dich im ICQ

01.02.2010, 00:12

tigerbine

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Zitat:

Original von der_eine
Also wenn A unsere gegebene Matrix ist suchen wir eine Basis B so dass
$\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ 0 & \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{pmatrix} , \alpha \in \left[0,2\pi \right[ \end{eqnarray*}$

Richtig?

Richtig. Den Rest musst du ausführlicher schreiben. Warum sollte das den gelten?

01.02.2010, 00:30

der_eine

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Tut mir leid... warum das gelten sollte?

01.02.2010, 00:35

tigerbine

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Ja, wenn du es nur hinschreibst, ist es nur eine Behauptung. Also, warum willst du B so wählen?

01.02.2010, 00:43

Anne91

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na B ist doch dann die tranformationsmatrix oder?

01.02.2010, 00:44

der_eine

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Weil B meine Transformationsmatrix ist.
Und eine Matrix gesucht ist, die genau das leistet. Bzw wenn sich eine solche finden lässt gilt die Aussage als bewiesen.

Nagut ich müsste überhaupt erst noch zeigen, dass diese Matrix um den Ursprung dreht nicht wahr?

01.02.2010, 00:46

tigerbine

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Zitat:

Weil B meine Transformationsmatrix ist.
Und eine Matrix gesucht ist, die genau das leistet. Bzw wenn sich eine solche finden lässt gilt die Aussage als bewiesen.

Ich wollte wissen, warum dein B es leistet. Der Name Transformationsmatrix ist mir da zu wenig. Wenn ihr eine Anleitung habt, was man in die Spalten schreiben muss, ok. Aber so einfach nur v hinzuschreiben - ohne Nachweis - dass dann das gewünschte erreicht ist, ist zu wenig.

Das meinte ich.

01.02.2010, 00:54

der_eine

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Achso... also in die Spalten der Transformationsmatrix gehören glaube ich die Koordniatenvektoren der Basis von A in der Basis von der Diagonalblockmatrix

01.02.2010, 01:00

tigerbine

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Glauben ist nicht wissen. aber du kannst es hier doch einfach nachrechnen, ob deine Idee passt. Bedenke, dass du B orthonormal gewählt hast.

01.02.2010, 01:15

der_eine

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Das motivert mich aber, dass es einfach ist.
Nur irgendwie bin ich auf der falschen fährte.

B^-1AB= Diagonalblockmatrix

A= B*Diagonalmatix*B^t

01.02.2010, 01:19

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ 0 & \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{pmatrix} , \alpha \in \left[0,2\pi \right[ \end{eqnarray*}$

Richtig?

und $\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} & ? & ? \\ v & ? & ? \\ & ? & ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun zeig mal durch nachrechnen, was man über die Matrix auf der rechten Seite wo erfährt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} & ? & ? \\ v & ? & ? \\ & ? & ? \end{pmatrix}^{-1}A \begin{pmatrix} & ? & ? \\ v & ? & ? \\ & ? & ? \end{pmatrix}= ? \end{eqnarray*}$

Da geht man Eintragsweise vor. Ich hatte ja schon einmal angedeutet, über welche Einträge man was erfahren kann. Daher fragt dich zuerst ma was man aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} & ? & ? \\ v & ? & ? \\ & ? & ? \end{pmatrix}^{-1}A v = ? \end{eqnarray*}$

schließen kann. Bedenke, B ist ONB.

01.02.2010, 01:34

der_eine

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Also was ich mir behalten habe ist, wenn B ONB ist, dass ist B^-1=B^t

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} & ? & ? \\ v & ? & ? \\ & ? & ? \end{pmatrix}^{-1}A v = \begin{pmatrix} & v & \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix}A v = \begin{pmatrix} & v & \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} xv = \begin{pmatrix}xv_1^2 + xv_2^2 + xv_3^2 \\ ? \\ ? \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 01:40

tigerbine

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ja, aber noch mehr. Die Spaltenvektoren sind orthogonal. Das bedeutet auch was. v war ja nun ein Eigenvektor.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} |& ? & ? \\ v & ? & ? \\ |& ? & ? \end{pmatrix}^{-1}A v = \begin{pmatrix} -& v &- \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} \lambda v = \lambda \begin{pmatrix} -& v & - \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} v = \lambda \begin{pmatrix} v^Tv \\ (?)^Tv \\ (? ) ^T v \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray*}$

Die (?) sind die anderen Vektoren der ONB. Nutze nun aus, was du darüber weißt.

01.02.2010, 01:55

der_eine

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$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} v^Tv \\ (?)^Tv \\ (? ) ^T v \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray*}$
muss $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein oder?
Das wird doch unsere erste Spalte von der DiagonalBlockmatrix?

$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} <v,v> \\ <x,v> \\ <y,v> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v ist orthonormal, also <v,v>=1
und damit <x,v>=0 und <y,v>=0 muss x bzw y orthogonal auf v stehen.

Geht das überhaupt in die richtige richtung was ich hier erzähle?

01.02.2010, 01:57

tigerbine

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Zitat:

v ist orthonormal, also <v,v>=1 Freude

Zitat:

und damit <x,v>=0 und <y,v>=0 muss x bzw y orthogonal auf v stehen.

Ja und sind die orthogonal oder nicht? Warum sollte man v wohl zu einer ONB ergänzen? Augenzwinkern

01.02.2010, 02:03

der_eine

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ach stimmt ja, das waren ja unsere spalten, die wir uns selbst aussuchen. wie geil.

ok die sind also orthonormal und insbesondere orthogonal. damit <x,v>, <y,v> = 0
Und da muss ich mir auch garkeinen Kopf drum machen wie die aussehen müssen.

Also jetzt der ganze Spaß für die zweite spalte?

01.02.2010, 02:15

tigerbine

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Ich weiße noch darauf hin, dass vor dem ganzen der Eigenwert steht. Bevor es nun weiter geht, beachte (die angegebene Matrix nenne ich nun mal M)

$\begin{eqnarray*} A^T = A^{-1},~B^T=B^{-1} \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} B^{T}AB = M \end{eqnarray*}$

was gleichbedeutend ist mit

$\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = M \end{eqnarray*}$

Was ist dann

$\begin{eqnarray*} (B^{-1}AB)^{-1} = M^{-1} \end{eqnarray*}$

.....

rauskommen soll

$\begin{eqnarray*} M^T = M^{-1} \end{eqnarray*}$

Damit bekommst du noch mehr Fragezeichen raus. Vergleiche hier

01.02.2010, 02:25

der_eine

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Kann ich mein Lambda jetzt schon auf 1 festlegen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} |& | & | \\ v & x & y \\ |& | & | \end{pmatrix}^{-1}A x = \begin{pmatrix} 0 \\ cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$

Das geht schon nicht mehr so schön

01.02.2010, 02:30

tigerbine

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Wo hast du da irgendwas von dem gemacht, was ich dir aufgetragen hatte?

01.02.2010, 02:35

~*Alexandra*~

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hallo, bin auch bei matveev, und sitzt grad an dieser dummen 1. und 5. Aufgabe fest, hatte bis jetzt noch nie solche probleme mit den aufgaben >.<
mich interessiert mal, warum man hier einfach so sagen kann, dass die gramerhsche Matrix= Id ist

01.02.2010, 02:41

der_eine

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$\begin{eqnarray*} A^T = A^{-1},~B^T=B^{-1} \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} B^{T}AB = M \end{eqnarray*}$

was gleichbedeutend ist mit

$\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = M \end{eqnarray*}$

Was ist dann

$\begin{eqnarray*} (B^{-1}AB)^{-1} = M^{-1} \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} B^{-1}A^{-1}B = M^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B^{T}A^{T}B = M^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (B^{T}AB)^{T} = M^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (B^{-1}AB)^{T} = M^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M^{T} = M^{-1} \end{eqnarray*}$

rauskommen soll

$\begin{eqnarray*} M^T = M^{-1} \end{eqnarray*}$

- Glück gehabt.

01.02.2010, 02:42

der_eine

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Zitat:

Original von tigerbine
Wo hast du da irgendwas von dem gemacht, was ich dir aufgetragen hatte?

Ja sry das hatte ich schon geschrieben bevor ich deins gelesen hatte...

01.02.2010, 02:42

tigerbine

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so, und das vberrät uns doch noch etwas über die Gestalt von M.

01.02.2010, 02:45

der_eine