jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert

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Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Hallo. Ich steh hier vor einem Problem und weiß nicht wirklich, wie ich anfangen kann.
Hier die Frage:

Zeigen Sie, dass eine orthogonale 3x3-Matrix mit Determinante +1 stets eine Drehung um eine Gerade durch den Ursprung beschreibt. Das heißt es gibt eine orthogonale Basis, in der die Matrix folgende Gestalt besitzt:

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass jede 3x3-Matrix stets einen reelen Eigenwert besitzt und ergänzen Sie den zugehörigen Eigenvektor zu einer orthonormalen Basis.

Wär echt nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich an die Aufgabe am besten rangehen kann.

Lg, Anne.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
1. Was sind die Eigenwerte einer Matrix?

2. Wie bestimmt man sie?

3. Was sagt der Hauptsatz der Algebra?
 
 
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Erstmal danke.

Ja, was ein Eigenwert ist, weiß ich. Laut Definition:
heißt ein Eigenwert, falls es ein gibt, sodass .
So wie er berechnet wird, weiß ich nicht, deswegen hatte ich ja gefragt.
Und der Hauptsatz der linearen Algebra ist nach unserem Prof: Zwei endlichdimensionale Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie gleiche Dimensionen haben.

Aber was hat das jetzt damit zu tun?

Lg, Anne.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
1. Korrekt.

2. http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertpr...e_einer_Matrix,
http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom

3. Ich meine einen anderen Satz. Ich sagte ja Algebra, nicht lineare Algebra:
http://teacher.eduhi.at/gwengler/wiki/pm...tsatzDerAlgebra
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
gut, ich hoffe ich hab jetzt den richtigen ansatz.

Also die Formel ist ja

Ich habe ja eine 3x3 Matrix gegeben also wähle ich:

in die formel eingesetzt und vereinfacht wäre das dann

so, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist der Eigenwert und der Eigenvektor, oder?
das system kann ich doch dann in ein LGS umwandeln und nach umstellen. Dann hab ich doch aber dass ein Eigenvektor existiert oder? Entspricht das denn dem 2. Teil des Hinweises "[...] und ergänzen Sie den zugehörigen Eigenvektor zu einer orthonormalen Basis." oder ist das dann schon wieder was anderes?
Wie weise ich jetzt mit dem LGS nach, dass stets ein reeler Eigenwert existiert?

Lg, Anne.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Nein, so nicht. Die Formel ja. Aber was kommt da raus, allgemein formuliert? Und dann der Hauptsatz. Dann hast du die Existenz deiner reellen Nullstelle.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
wie meinst du das, allgemein formuliert?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
so wie ich es gesagt habe. Ich setze vorraus, dass du auch auf den Link "Charakteristisches Polynom" geklickt hast und ihn gelesen hast.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
also ich hab das charakteristische polynom berechnet, aber wir hatten den Hauptsatz der Algebra noch nicht, deswegen darf ich es nicht verwenden. wie krieg ich das anders raus?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Imho zielt der hinweis genau auf diesen Satz ab. Einen anderen Weg weiß ich gerade nicht.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
ja ok, aber nach diesem satz hat die gleichung höchstens 3 lösungen, aber nicht mindestens eine. ich soll doch rausfinden, dass es überhaupt lösbar ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Liest du meine Links eigentlich? Orthogonale Matrizen sind mit reellen Einträgen. Daher hat das Polynom reelle Koeffizienten. Es kann komplexe Nullstellen haben, die treten dann aber paarweise auf. Somit muss die dritte wohl reell sein.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
ich hab das ganze nicht verstanden, tut mir leid, ich schein dich zu stressen.
ich versuchs halt selber hinzukriegen. ich bin halt net so ne leuchte. sry.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Es hat nichts mit Leuchte zu tun. Aber ich kann nicht mehr tun, als dir die Puzzlesteine zu geben. Puzzlen musst du selbst. Und selbst das habe ich in meinem letzten Beitrag schon getan.
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Hm wie es der Zufall so will habe ich die gleiche Aufgabe.
Ich komme auch nicht zurecht.

Also wir haben nun gezeigt, dass eine 3x3-Matrix einen reellen Eigenwert besitzt, folglich also auch einen Eigenvektor.
Jetzt sollen wir nach Hinweis diesen Eigenvektor zu einer orthonormalen Basis ergänzen. Allgemein einer Basis von 3x3 Matrizen?
Ist das denn Zielführend?

Ich muss doch sicher noch verwenden, dass die Matrix orthogonal sein muss, also A^t*A=Id und die Determinante 1 ist.
Irgendwie tapp ich da im dunkeln.
Ich glaube ich habe noch nicht so recht verstanden was ich im Endeffekt überhaupt zu zeigen habe. verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Zitat:
Original von Anne91

Zeigen Sie, dass eine orthogonale 3x3-Matrix mit Determinante +1 stets eine Drehung um eine Gerade durch den Ursprung beschreibt. Das heißt es gibt eine orthogonale Basis, in der die Matrix folgende Gestalt besitzt:



Die Matrix A stammt also aus der speziellen orthogonalen Gruppe. Sie ist und nun bzgl. irgendeiner Basis angegben. Du sollst nun eine andere Basis angeben und zeigen, dass sie dann obige Gestalt hat.

Wir wissen nun, dass die Matrix einen reellen Eigenwert hat. Warum muss der vom Betrag 1 sein?

A habe den Eigenwert 1 hat und dazu finden wir auch einen Eigenraum. Wir suchen uns daraus einen Vektor aus. Der kommt in die neue Basis an erste Stelle. Somit ist schon mal die Struktur



klar. Nun nutzen wir es aus, dass wir die Inverse kennen. Es muss gelten:



Damit wissen wir sogar schon



Nun bist du wieder dran, für die letzten 4 Fragezeichen.
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum genau sagen wir Eigenwert = 1? das kann ich nicht ganz nachvollziehen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
tigerbine
Warum muss der 1 sein?


Das ist noch zu zeigen. Da seid ihr nun aber dran. Augenzwinkern Was weiß man über die Eigenwerte von orthogonalen Matrizen? Dann ist es nur noch eine Vorzeichenfrage. Dann muss noch die Determinante ins Spiel gebracht werden und die gewünschte Struktur der Matrix. Meine Rechnung sollte nur ein Fallbeispiel sein.
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
tigerbine
Warum muss der 1 sein?


Das ist noch zu zeigen. Da seid ihr nun aber dran. Augenzwinkern Was weiß man über die Eigenwerte von orthogonalen Matrizen? Dann ist es nur noch eine Vorzeichenfrage.


Man weiß dass sie entweder -1 oder 1 sind?
Von 2x2 weiß ich aus der vorlesung, dass die Matrix mit det=-1 spiegelt und mit det=1 dreht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von der_eine
Man weiß dass sie entweder -1 oder 1 sind?.


Entweder du weißt das, oder du weißt das nicht. Warum das "?" ?
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

woher weißt du dass der eigenwert von orthogonalen matrizen entweder 1 oder -1 ist?
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es nicht. Ich habe aus deiner Art zu Fragen geschlussfolgert, daher das Zitat.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab nicht gefragt, tigerbine wars. ich hab gar keinen durchblick mehr.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man hat diese Matrizen in der Vorlesung eingeführt. Woher soll ich nun wissen, ob ihr ein Lemma, eine Übungsuafgabe habt, in der dies schon bewiesen ist?

Wenn dem nicht so ist, dann könnt ihr es ja jetzt beweisen. Tipps dazu liefert die Boardsuche. Augenzwinkern
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab den thread jetzt gelesen:
Eigenwert orthogonaler Matrizen
aber das ist alles so durch einander.
kannst du mir bitte einen ansatz geben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Würde eher diesen Thread empfehlen: Eigenwerte orthogonaler Matrizen
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Also @Anne

Eine Quadratische Matrix ist ein Endomorphismus und die Multiplikation von links ist im Grunde nur das Anwenden dieser Funktion auf z.B. den Vektor mit dem du sie multiplizierst.


Doch wie schlussfolgern wir nun |µ|=1? Weil <Av,Av>=1?

Btw... ich kann mir garnicht so recht vorstellen wie eine Matrix, also eine Funktion, orthogonal sein kann. also die Länge 1 haben kann.
Allgemein eine Länge haben kann.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung hat nicht die Länge 1. Sie ist längentreu.
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooooo gut zu wissen. Sie ändert also die Länge von Vektoren nicht mit denen ich sie multipliziere ja?

Also mein Ansatz ist
<Av,Av>=1 <=>
<µv,µv>=1 <=>
|µv| = 1, naja Wurzel(1)

Sorry ich hab noch keine Muse gehabt mich mit vernünftiger Textformatierung hier im Forum zu beschäftigen. Sry ich weiß das ist Egoistisch und ihr kriegt augenkrebs.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, und ich will das auch nicht in 2 Threads diskutieren. Wegen dieser Teilfrage hatte Anne den alten Thread aktiviert. Dort diskutieren wir nun aus, warum eine orthogonale Matrix nur die EW +/-1 haben kann.
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok wir wissen jetzt der Eigenwert ist 1 oder -1. Wie und warum schließen wir -1 aus?

Determinante war dein Stichwort. Die soll 1 sein.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Original von Anne91

Zeigen Sie, dass eine orthogonale 3x3-Matrix mit Determinante +1 stets eine Drehung um eine Gerade durch den Ursprung beschreibt. Das heißt es gibt eine orthogonale Basis, in der die Matrix folgende Gestalt besitzt:




Damit geht es nun weiter. Wenn ihr keinen Plan habt, sammelt Informationen. Was hat die Matrix, die rauskommt, denn für Eigenschaften? Wie berechnet man denn ihre Determinante?

Ziel muss es sein, Transformationsmatrizen anzugeben, so dass man aus einer beliebigen speziellen orthogonalen Matrix diese Matrix herausbekommt.
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Zitat:
Original von tigerbine
einer beliebigen speziellen orthogonalen Matrix


klingt Großartig.

Warum genügt es eigentlich nicht zu prüfen ob die gegebene Matrix die Eigenschaften erfüllt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Weil du so nciht zeigst, dass man alle Matrizen aus der SO so schreiben kann, sondern nur, dass diese Matrizen in der SO sind.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
was ist mit dem zweiten teil vom hinweis: "ergänzen Sie den zugehörogen Eigenvektor zu einer orthonormalen basis"?
oder hab ich schon wieder was verpasst?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Wir wollten erstmal ausnutzen, was es bedeutet, dass wir einen reellen EW haben.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
kann man das nicht in stufenform bringen und die diagonalelemente addieren? ich mein um die determinante zu berechnen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
1. Was willst du auf Stufenform bringen

2. Ist die Determinante dann das Produkt der Diagonaleinträge.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
na du hast doch gefragt wie man die determinante der matrix ausrechnen kann oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: jede 3x3 matrix besitzt einen reellen Eigenwert
Von der angegebenen Matrix, ja. Was ist das denn für eine Matrix? Eine Blockdiagonalmatrix. Wie lautet also die Determinante?
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