Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar

30.01.2010, 12:50

Rosch

Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar

Hallo zusammen

ich habe eine frage zu einer Übungsaufgabe die wie folgt aussieht:

Man zeige: Für eine quadratische invertierbare Matrix A gilt $\begin{eqnarray*} (A^{2})^{-1} = (A^{-1})^{2} \end{eqnarray*}$ , d.h.
die Inverse des Quadrats ist das Quadrat der Inversen:

Für die angegebene Matrix A bestimme man $\begin{eqnarray*} A^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab jezt die Inverse berechnet nur fürchte ich das es nicht Aufgabe war.
Kann mir einer erklären was da jetzt genau gefragt ist?

Danke und Gruß

30.01.2010, 12:52

tigerbine

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar

Zitat:

Original von Rosch
Man zeige:
Für eine quadratische invertierbare Matrix A gilt $\begin{eqnarray*} (A^{2})^{-1} = (A^{-1})^{2} \end{eqnarray*}$ , d.h.
die Inverse des Quadrats ist das Quadrat der Inversen.

Danach ist gefragt, das Beispiel dient nur der Veranschaulichung.

30.01.2010, 12:58

Rosch

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
Also soll ich beweisen, das die inverse Matrix A = die inverse inverse der Matrix A ist
Ist das korrekt?

Quasi:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die inverse davon wieder A ergibt?

30.01.2010, 13:02

tigerbine

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
Lesen kannst du doch, oder? Es steht doch sogar noch einmal ausformuliert da, was zu zeigen ist. unglücklich

$\begin{eqnarray*} (A^{2})^{-1} = (A^{-1})^{2} \end{eqnarray*}$

30.01.2010, 13:54

Rosch

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
Ohh ja wie dumm von mir, tut mir leid. Ich denke jetzt habe ich es verstanden.
Danke für die Geduld Wink

der vollständigheits halber möchte ich das ergebnis noch posten. ich hoffe es ist nun richtig.

$\begin{eqnarray*} A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A^{2})^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \begin{pmatrix}%20\frac{1}{2}%20%20&%20\frac{1}{2}%20&%200%20\\%20-\frac{1}{2}%20&%20\frac{1}{2}%20&%200%20\\%200%20&%200%20&%201%20%20\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A^{-1})^{2} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus resultiert $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^{2} = (A^{2})^{-1} \end{eqnarray*}$

Danke für deine hilfe!

30.01.2010, 13:58

tigerbine

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
Und schon muss ich wieder die Zähne zeigen. Beispiele als Beweis. unglücklich

Nur als Gegenbeispiel ist sowas erlaubt. Du sollst es allgemein beweisen, und nicht für diese spezielle Matrix. Diese dient, wie ich schon sagte, nur als veranschaulichendes Beispiel.

Zum letzten Mal, warum gilt allgemein:

$\begin{eqnarray*} (A^{2})^{-1} = (A^{-1})^{2} \end{eqnarray*}$

Es ist doch wirklich nur ein Einzeiler, also zeig ihn endlich. Augenzwinkern

30.01.2010, 14:27

Rosch

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
Das einzige was mit einfällt wäre das aus

$\begin{eqnarray*} (A^{-1})^{2} = (A^{2})^{-1} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} A^{-2} = A^{-2} \end{eqnarray*}$

ist es das was gesucht ist? Ich kanns mir eigentlich nciht vorstellen.

30.01.2010, 15:52

tigerbine

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
Mein Gott, du stellst dich aber an.... unglücklich

Um gleich mal wieder den Finger in die Wunde zu legen. Du sollst das was oben steht beweisen, und nicht daraus etwas folgern. Der Pfeil "=>" zeigt also schon mal in die falsche Richtung. geschockt

Sorry, dass ich so hart bin...

Was ist denn die Grundlegende Eigenschaft der Inversen Matrix? Augenzwinkern

30.01.2010, 16:56

Rosch

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
ich glaube diese härte ist was ich jetzt brauche. Ich habe in den letzten Tagen soviel Mathe nachgeholt das ich glaube bleibende Schäden davon zu tragen Big Laugh

Aber Spass bei Seite..

Ich stehe diesbezüglich ganz schön auf den Schlauch. Ich habe im Internet gesucht aber nicht gefunden was das erklären könnte.
Das was ich über eine Inverse Matrix weiss ist, dass sie das Produkt mit der Einheitsmatrix ist und die Einheitsmatrix das Produkt 2er Matrizen sind.

30.01.2010, 17:03

tigerbine

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RE: Quadratische invertierbare Matrix: Aufgabestellung unklar
Wo schlägt man nach? In der Definition.

$\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E \end{eqnarray*}$

So, bei uns heißt die Matrix nun nicht A, sondern A². Dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} A^2 \cdot (A^2)^{-1} = (A^2)^{-1} \cdot A^2 = E \end{eqnarray*}$

Nun ist hier doch ein Vorschlag gemacht, wie die Inverse aussehen könnte.

$\begin{eqnarray*} (A^{2})^{-1}=(A^{-1})^{2} \end{eqnarray*}$

Es muss (zu zeigen!!!!) also gelten:

$\begin{eqnarray*} A^2 \cdot (A^{-1})^{2} \stackrel{!}= (A^{-1})^{2}\cdot A^2 \stackrel{!}= E \end{eqnarray*}$

Na, und nun schlägst du mal die Rechenregeln für Matizenmultplipikation nach sowie warum Rechtsinverses gleich Linksinverses ist, und dann ist es endlich fertig.

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