Implizite Funktion

Neue Frage »

30.01.2010, 18:29	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktion Hallo zusammen, bei folgender Aufgabe beisse ich mir gerade die Zähne aus. Gegeben ist die Funktion f: R3 -> R mit f(x,y,z)= $\begin{eqnarray} x^{2}-y^{2}+z^{3} \end{eqnarray}$ Nun soll man ein ž finden, so dass durch f(6,3,ž)=0 an der Stelle (6,3,ž) eine implizite Funktion z=z(x,y) definiert wird. Versteh leider ned wie ich hier mit der Jacobi-Matrix arbeiten soll. Das einzige was ich rausbekommen habe ist ž= $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{25} \end{eqnarray}$ Vielen Dank schon einmal für die Hilfe
30.01.2010, 18:37	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagt denn der Satz über implizite Funktionen? Was muss erfüllt sein, damit er dir die Existenz einer solchen Funktion garantiert?
30.01.2010, 18:51	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne ihn so, Ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen von f nach y invertierbar , so ist die impleziete Gleichung f(x,y)=0 in der Nähe von (x0,y0) nach y auflösbar. Es gi t also eine Funktion y=y(x) so dass f(x,y(x))=0 für alle x erfüllt ist.
30.01.2010, 19:24	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist nun die Jacobimatrix für deine Funktion? Und was ist hier die Matrix, die du betrachten musst?
30.01.2010, 19:27	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider genau das was ich bei dieser Aufgabe ned versteh
30.01.2010, 20:08	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten ich beschreibe mein Problem mal genaur. Änhnlich Aufgaben bekomme ich hin, aber nur im R2, weil es dafür eine formel gibt mit der ich jedenfalls immer ganz gut hinkomme $\begin{eqnarray} -\frac{\frac{df}{dx} (x,y)}{\frac{df}{dy} (x,y)} \end{eqnarray}$ Bei dieser Aufgabe finde ich jedoch so keinen Ansatz nicht. Ich weiß nicht wie ich mit den 3 Variablen umgehen soll
Anzeige

30.01.2010, 20:49	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss solche komischen Beispiele. Vor allem klammere dich nicht an irgendwelche Belegungen für Variablennamen. Das verwirrt nur. Du hast die Funktion $\begin{eqnarray} F(x,y,z) \end{eqnarray}$ . Nun suchst du eine Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x,y)=z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(x,y,g(x,y))=0 \end{eqnarray}$ . Die Jacobimatrix von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} DF=(\partial_xF,\partial_yF,\partial_zF) \end{eqnarray}$ wobei zb $\begin{eqnarray} \partial_xF \end{eqnarray}$ die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Nun muss die Teilmatrix von $\begin{eqnarray} DF \end{eqnarray}$ , die alle Ableitungen nach den Variablen enthält, nach denen du auflösen willst, invertierbar sein. --> Nach welcher Variable willst du auflösen? --> Welches sind also alle die partiellen Ableitungen, nach ebendiesen Variablen? Sei nun $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ diese Teilmatrix. Was muss gelten, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar ist? [das ist hier dann ganz einfach !] Als Hilfe hier nochmal der Wikipedia-Artikel als Hilfe.
31.01.2010, 09:29	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Jacobi-Matrix ist Jf=(2x,-2y,3z^2) --> ich möchte nach den Variablen x und y auflösen --> deren partielle Ableitungensind aus der Jacobi- Matrix ablesbar Damit die Teilmatrix invertierbar ist muss gelten, A*A^-1=E Ok dies ist erfüllt, also ist dieTeilmatrix invertierbar. Aber ich versteh leider immer noch ned wie ich auf die Funktion z(x,y) komme
31.01.2010, 09:45	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du willst nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auflösen, da du ja $\begin{eqnarray} z=\text{irgendwas} \end{eqnarray}$ haben willst. Also muss die quadratische Teilmatrix von $\begin{eqnarray} J_f \end{eqnarray}$ , die alle möglichen partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ enthält, invertierbar sein. Welches ist denn nun die gewünschte Teilmatrix? [Hinweis: 1x1-Matrix] Im Übrigen macht der Satz überhaupt keine Aussage, wie die gesuchte "Auflösen" aussieht. Er sichert dir, dass diese existiert, aber nicht wie du sie finden könntest. Natürlich könnte man hier gleich versuchen einfach $\begin{eqnarray} g(x,y):=\sqrt[3]{-x^2+y^2} \end{eqnarray}$ zu setzen, nur muss man eben sehr auf Vorzeichen und wohldefiniertheit aufpassen.
31.01.2010, 09:52	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Teilmatrix ist dann 3z^2. Und diese darf nicht gleich 0 sein.
31.01.2010, 10:21	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Pro lem ist aber weiterhin wie ich auf ein ž komme. Danke schon mal für die ganzen Antworten
31.01.2010, 11:30	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Teilmatrix ist $\begin{eqnarray} A=(3z^2) \end{eqnarray}$ . Nun was muss für eine quadratische Matrix gelten, damit sie invertierbar ist? [Hinweis: det] Also welche Bedingung musst du an die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Koordinate des Punktes $\begin{eqnarray} p=(x,y,z) \end{eqnarray}$ , damit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar ist und die gewünschte Auflösung existiert?
31.01.2010, 12:02	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss gelten, dass die det un= 0 ist. Ich muss die Bedingung stellen, dass z un= 0 ist.
31.01.2010, 12:56	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Insbesondere siehst du, dass in diesem Beispiel die ersten beiden Variablen egal sind.
31.01.2010, 13:07	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was heißt das jetzt genau, etwa dass ž nicht null sein darf? Oder wie lautet das Erfebnis?
31.01.2010, 13:10	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Edit: Im Anhang habe ich einmal ein Bild von der Niveaufläche $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=0 \end{eqnarray}$ gestellt. Dass es in einem Punkt nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auflösbar ist bedeutet, dass die Fläche in einer Umgebung dieses Punktes wie ein Graph von einer differenzierbaren Funktion aussieht. Nun siehst du anschaulich, dass es Probleme gibt wenn $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ ist.
31.01.2010, 13:38	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
:Vielen Dank für deine Bemühungen umd die super Antworten:
31.01.2010, 14:52	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider hab ich noch ein Problem. Und zwar soll im zweiten Teil der Aufgabe die Linearisierung dieser Funktion angegeben werden. Auch auf die Gefahr hin das es ein totaler Schwachsinn ist, ist das mein Ansatz f(xo)+Jf(xo)(x-xo) --> Jf=(2x -2y 3z^2). -> Jf(6,3,ž)=(12 -6 3ž^2) --> f(xo)=36-9+ž^3 -----> 36-9+ž^3+ (12 -6 3ž^2)(x-6 y-3 z-ž)T = 12x-6y+z^3+3zž^2+3ž^3-27 Bin mir aber ned sich wegen den z und ž, sind die vllt das gleiche?
31.01.2010, 15:58	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war azch due Begründung weshalb ich ummer nach ž als wert gesucht hab damit ich ihn hier einsetzen kann
31.01.2010, 18:25	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz zur Linearisierung ist OK, das ist genau die Approximation der Funktion durch die ersten beiden Summanden der Taylorentwicklung. Ich glaube du hast aber einen Fehler in der Matrixmultiplikation gemacht: $\begin{eqnarray} (12,-6,3\tilde{z}^2)\begin{pmatrix}x-6 \\ y-3 \\ z-\tilde{z}\end{pmatrix}=12(x-6)-6(y-3)+3\tilde{z}(z-\tilde{z}) \end{eqnarray}$ . Die Linearisierung ist in deinem Fall eine Hyperebene in $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ .
31.01.2010, 18:50	donleon	Auf diesen Beitrag antworten »
Super und nochmals vielen Dank für deine Hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

Implizite Funktion

Verwandte Themen