Integral von 3x*ln(x^4)

11.06.2004, 19:33

Lapskaus

Integral von 3x*ln(x^4)

Ich häng damit im moment derbst fest :

$\begin{align*} \Bigint~3x*ln({x^4})~dx \end{align*}$

soll mit substitution gelöst werden, egal was ich wähle, ich komm zu keinem gescheiten ergebnis.

11.06.2004, 19:45

BraiNFrosT

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Nach den Logarythmus-Gesetzen darfst du die 4 aus dem Exponenten
vor das Produkt schreiben.
Bleiben nocht 12x*ln|x| , hilft das weiter ?

11.06.2004, 19:51

Lapskaus

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Ne hilft mir irgendwie nich, vielleicht seh ich den Wald auch einfach vor lauter Bäumen nicht verwirrt

11.06.2004, 19:54

Ben Sisko

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Sieht doch nach partieller Integration aus.

11.06.2004, 20:00

Lapskaus

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Also mit partieller Integration komm ich zu dem Ergebnis :

$\begin{align*} \[\frac{1}{2}*ln(x)\]- \[\frac{1}{4}x^2\] \end{align*}$

ist das denn wenigstens richtig ?

Kann man das überhaupt mit Substitution lösen ? Steht nämlich so im Aufgabentext .

Edit :
Hab die 12 beim abtippen vergessen , muss natürlich

$\begin{align*} 12*\[\[\frac{1}{2}*ln(x)\]- \[\frac{1}{4}x^2\]\] \end{align*}$

lauten ( hoff ich smile

)

11.06.2004, 20:28

grybl

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fast stimmt es, du hast nur das x² bei 1/2*ln(x) vergessen.

vollständige Lösung: 3x² * (2*ln(x)-1) Wink

11.06.2004, 21:03

BlackJack

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mit substitution ließe sich das auch lösen. dazu musst du einfach die funktion umschreiben und dann teilweise das logarithmusgesetz anwenden (ich hoffe, dass man das darf):
$\begin{align*} 3x*ln(x^4) = 3x*ln(x^{2*2}) = 3x*2*ln(x^2) = 6x*ln(x^2) \end{align*}$

jetzt hast du die innere ableitung (2x) bei dem zu lösenden integral bis auf einen vorfaktor vor dem ln stehen und kannst die 1. subsitutionsregel anwenden.

12.06.2004, 10:03

Lapskaus

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Jo danke, das hat Brainfrost ja schon als erstes bestätigt

Jetzt komm ich aber nur bis zu diesem Punkt hier :

$\begin{align*} \Bigint~3x*ln(x^4)~dx \end{align*}$ <=>

$\begin{align*} \Bigint~6x*ln(x^2)~dx \end{align*}$ <=>

$\begin{align*} 3*\Bigint~2x*ln(x^2)~dx \end{align*}$ <=>

z = x²
dz = 2x

das austauschen ergibt mir dann das hier :

$\begin{align*} 3*\Bigint~ln(z)~dz \end{align*}$

und da muss ich ja jetzt ln(z) aufleiten und dann noch die substitution rückgangig machen, damit ich die grenzen nich umrechnen muss

oder denk ich mal wieder , wie so oft, in die falsche richtung

das gleiche problem hab ich auch mit einer ähnlichen aufgabe, bei der ich nach dem austauschen nur noch ln(z) dz stehen hab, hab aber 0 plan wie ich jetzt weiter verfahren soll
____________________________________________________

Und jetzt mach ich grad noch ne Substitution wo ich auch wieder mittendrin feststecken bleibe :

$\begin{align*} \Bigint~\frac{e^{4x}}{e^{2x}+3}~dx \end{align*}$

Die substitution ist vorgegeben und soll $\begin{align*} e^{2x}+3 \end{align*}$
sein

$\begin{align*} \frac{1}{2}*\Bigint~\frac{e^{2x}}{e^{2x}+3}*2e^{2x}~dx \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2}*\Bigint~\frac{e^{2x}}{z}~dz \end{align*}$

und dann is wieder schluss

12.06.2004, 11:09

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Lapskaus

$\begin{align*} 3*\Bigint~ln(z)~dz \end{align*}$

und da muss ich ja jetzt ln(z) aufleiten und dann noch die substitution rückgangig machen, damit ich die grenzen nich umrechnen muss

oder denk ich mal wieder , wie so oft, in die falsche richtung

Nein, das ist die richtige Richtung. Allerdings ist für das Integrieren
trotzdem noch partielle Integration von Vorteil. Schreib 1 * ln (z).

Zitat:

Original von Lapskaus

Und jetzt mach ich grad noch ne Substitution wo ich auch wieder mittendrin feststecken bleibe :

$\begin{align*} \Bigint~\frac{e^{4x}}{e^{2x}+3}~dx \end{align*}$

Die substitution ist vorgegeben und soll $\begin{align*} e^{2x}+3 \end{align*}$
sein

$\begin{align*} \frac{1}{2}*\Bigint~\frac{e^{2x}}{z}~dz \end{align*}$

und dann is wieder schluss

Du hast ja substituiert : z = e^2x + 3

Dann ist ln|z-3| = 2x

Das kannst du im Zähler einsetzen :

$\begin{align*} \Bigint~\frac{z-3}{2z}~dz \end{align*}$

Jetzt noch auseinanderziehen, dann sollte alles paletti sein : )

Viele Grüße.

Edit : Sry, hab die 2 im Nenner vergessen : /

12.06.2004, 11:17

Lapskaus

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Zitat:

Du hast ja substituiert : z = e^2x + 3

Dann ist ln|z-3| = 2x

Das kannst du im Zähler einsetzen :

Is ja knuffig , aber ich versteh nich ganz wie man darauf kommen soll

Edit :

Momentchen mal dann kann ich doch auch gleich z-3 = e^2x schreiben ?!

Dann sieht man auch auf den ersten blick das man das e^2x austauschen kann ^^

Ist doch richti oder ?

12.06.2004, 11:22

BraiNFrosT

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Ja, oder so : )

Da hab ichs wieder komplizierter gemacht als man es muss .......

12.06.2004, 11:24

Lapskaus

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Trotzdem schonmal n dickes dankeschön

To be continued smile

Edit :

Und weiter gehts :

$\begin{align*} \Bigint_{1}^e~x*ln(x)~dx \end{align*}$

Durch part. Integr. komm ich dann zu :

$\begin{align*} \[\frac{1}{4}*x^2*ln(x)\]_{1}^e \end{align*}$

Wenn ichs ausrechne komm ich auf ungefähr 1,84726

Rauskommen sollte laut nem Winplot aber : 2,09726

Lieg ich mit der part. Integration falsch oder ist das Prgramm dümmer als ich smile

________________________________________________________

Und ich wäre für nen Denkanstoss hierfür auch recht dankbar :

$\begin{align*} \Bigint_{-1}^\pi-1~x^2* \sin(x+1)~dx \end{align*}$

soll durch 2 malige part. integration lösbar sein ...

hab zuerst mal gedacht u=x2 zu wählen , u' wäre dann ja 2x
und beim 2. mal 2

aber ich bin mir nicht sicher was ich dann mit v'= sin(x+1)

machen soll oder ob mir das überhaupt weiterhilft wenn ichs so löse

______________________________________________________

Und noch mal etwas zu dem schon etwas älteren Post in dem es um die aufleitung von ln(z) ging

Hab in nem Mathebuch nachgeschlagen folgenden Satz gefunden :

Eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = ln(x) ist die Funtion F mit F(x) = x*ln(x)-x.

Das mal am rande

12.06.2004, 13:08

BraiNFrosT

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Zum 1. : Die Stammfunktion ist mMn falsch. Sieh sie dir nochmal an, bzw poste mal genau was du gemacht hast.

Zum 2. : Deine Überlegung ist richtig.

Zu dem Satz: Auf den wärst du mit partieller Integration auch selber gekommen : )

12.06.2004, 13:22

grybl

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Die Stammfunktion ist falsch. Es scheint, als habest du den 2. Teil der partiellen Integration vergessen. verwirrt

$\begin{align*} \Bigint_{}~x*ln(x)~dx = \frac{x^2}{2}*ln(x)- \Bigint_{}~\frac{x^2}{2}*\frac{1}{x}~dx = ... \end{align*}$
ausrechnen und Granzen einsetzen, dann kommt 2,09.. heraus

v'=sin(x+1) mittels Substitution integrieren

Wink

12.06.2004, 13:23

Lapskaus

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ok ich habs nochmal neu gerechnet und komm auf :

$\begin{align*} \[\frac{1}{2}*x^2*ln(x)\]_{1}^e- \Bigint_{1}^e~\frac{1}{x}*\frac{1}{2}*x^2~dx \end{align*}$

=>

$\begin{align*} \[x^2*ln(\sqrt{x})\]_{1}^e - \Bigint_{1}^e~\frac{x}{2}~dx \end{align*}$

=>

$\begin{align*} \[x^2*ln(\sqrt{x})\]_{1}^e - \[\frac{1}{4}*x^2\]_{1}^e \end{align*}$

=>

$\begin{align*} \[\frac{3}{4}*x^2*ln(\sqrt{x})\]_{1}^e \end{align*}$

12.06.2004, 13:26

grybl

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dein letzter Schritt ist falsch, du kannst die x² so nicht zusammenfassen!

Versuchs lieber mit Ausklammern von x², wenn du schon vereinfachen willst. Wink

12.06.2004, 13:30

Lapskaus

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Ach jo , mal wieder son dummer fehler, müsste so lauten :

$\begin{align*} \[x^2*(ln(\sqrt{x})-\frac{1}{4})]_{1}^e \end{align*}$

oder ?

12.06.2004, 13:33

grybl

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:] ja

12.06.2004, 13:50

Lapskaus

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Zitat:

$\begin{align*} \Bigint_{-1}^\pi-1~x^2* \sin(x+1)~dx \end{align*}$
soll durch 2 malige part. Integrat. lösbar sein

Stimmt es dann so :

$\begin{align*} \[(-x^2+2)*cos(x+1)+2x*sin(x+1)\]_{-1}^\pi \end{align*}$

12.06.2004, 13:57

BraiNFrosT

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Ich habe mal eben nachgerechnet und komme auf

$\begin{align*} \[x^2\cos(x+1)-2x\sin(x+1)-2\cos(x+1)\] \end{align*}$

Edit :

$\begin{align*} \[(x^2-2)\cos(x+1)-2x\sin(x+1)\] \end{align*}$

Okay, wer hat nun den Vorzeichenfehler ? : )

12.06.2004, 13:58

Lapskaus

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hmmm, also stimmt was mit den vorzeichen in meiner ersten klammer nich .... oder bei dir smile

12.06.2004, 14:00

grybl

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@Lapskaus.
Ich glaube bei dir stimmen die Vorzeichen nicht. Hast du das -1 berücksichtigt? verwirrt

12.06.2004, 14:02

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Lapskaus
hmmm, also stimmt was mit den vorzeichen in meiner ersten klammer nich .... oder bei dir smile

Nicht nur in der Klammer, auch vor dem -2xsin(x+1).

Hast du beim 2tem mal integrieren die Klammer vergessen ?

12.06.2004, 14:04

Lapskaus

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Vielleicht liegt der Fehler schon hier :

u= x2 => u'= 2x
v'= sin(x+1) => v=-cos(x+1)

wenn das - vor dem cos (x+1) richtig ist, dann müsste das auch zu meinem ergebnis führen (Aufleitung von sin = -cos?!)

12.06.2004, 14:06

grybl

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Das Ergebnis von Brainfrost ist aber richtig.

Poste einmal deine Rechenschritte @Lapskaus.

12.06.2004, 14:11

BraiNFrosT

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$\begin{align*} \Bigint~-x^2sin(x+1) \end{align*}$

$\begin{align*} u=x^2=> u'=2x \end{align*}$

$\begin{align*} v'=-sin(x+1) => v=cos(x+1) \end{align*}$

$\begin{align*} \Bigint~(-x^2sin(x+1))~dx= x^2cos(x+1)-\Bigint~(2xcos(x+1))~dx \end{align*}$

$\begin{align*} =\[x^2cos(x+1)\]-$\[2xsin(x+1)\]-\Bigint~(2sin(x+1))~dx$ \end{align*}$

12.06.2004, 14:18

grybl

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ein Fehler schlich sich bei dir ein.
nach dem = gehört x²*cos(x+1) oder verwirrt

12.06.2004, 14:21

BraiNFrosT

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Jap tut es : ) Danke dir

12.06.2004, 14:22

Lapskaus

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$\begin{align*} \Bigint_{-1}^\pi~x^2*sin(x+1)~dx \end{align*}$

u= x2 => u'=2x
v'=sin(1+x) => v= -cos(x+1)

=>

$\begin{align*} \[x^2*(-cos(x+1))\]_{-1}^\pi - \Bigint_{-1}^\pi~2x*(-cos(x+1))~dx \end{align*}$

u= 2x => u'= 2
v'=-cos(x+1) => v= -sin(x+1)

=>

$\begin{align*} \[x^2*(-cos(x+1))\]_{-1}^\pi -\[2x*(-sin(x+1))\]_{-1}^\pi - \Bigint_{-1}^\pi~2*(-sin(x+1))~dx \end{align*}$

=>

$\begin{align*} \[-x^2*cos(x+1)\]_{-1}^\pi -\[-2x*sin(x+1)\]_{-1}^\pi -\[-2*cos(x+1)\]_{-1}^\pi \end{align*}$
und dann halt das ergebnis von oben

12.06.2004, 14:23

BraiNFrosT

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Du hast die Klammer vergessen beim 2ten mal partiell integrieren.
Sieh dir meinen Post an.

12.06.2004, 14:25

Lapskaus

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hmm jo, aber die aufleitung von sin(x) ist trotzdem -cos(x) oder nicht ? du hast nämlich als aufleitung cos(x)

12.06.2004, 14:30

grybl

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Brainfrost nimmt -sin(x+1) zum "aufleiten".

12.06.2004, 14:32

BraiNFrosT

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u und v waren richtig. Nur im Integral hab ich falsch abgeschrieben.
Aber nach 1mio mal editieren müsste es nun stimmen.

12.06.2004, 14:32

Lapskaus

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ja ok, ich hab das -1 vor dem x² einfach mal unterschlagen ... das wäre dann fehler Nummer 2 ... Danke für die Hilfe, und nochmal den ganzen Schwuttenkack rechnen werd ich bestimmt nich smile

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