Lebesgue-Stetigkeit von oben

30.01.2010, 19:16	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-Stetigkeit von oben Hi, ich habe auf meinem Übungsblatt folgendes bewiesen: Sei $\begin{eqnarray} \gamma_n\left(A_1\right) < \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{k+1}\subset A_k \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} \gamma_n\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k \right)= \lim_{k \to \infty} \gamma_n\left(A_k\right) \end{eqnarray}$ Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray} \gamma _n \left(A\right) \end{eqnarray}$ das Lebesgue-Maß einer Menge $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ Doch nun soll ich zeigen, dass dies ohne die Voraussetzung $\begin{eqnarray} \gamma_n\left(A_1\right) < \infty \end{eqnarray}$ im Allgemeinen nicht gilt. Meine Ideen dazu sind bisher folgende: Im Beweis wurde die Aussage $\begin{eqnarray} B \subset A ; \gamma _n \left( B \right) < \infty \Rightarrow \gamma _n \left( A\backslash B \right)= \gamma _n \left( A \right)- \gamma _n \left( B \right) \end{eqnarray}$ verwendet (das musste man vorher zeigen). Wenn ich bei dieser Aussage die Vor. $\begin{eqnarray} \gamma_n\left(B\right) < \infty \end{eqnarray}$ weglasse, lässt sich schon eher ein Gegenbeispiel finden, z.B. $\begin{eqnarray} A=\mathbb R ^n, B= \mathbb R ^n \backslash \mathbb Q ^n \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} A \backslash B= \mathbb Q ^n \end{eqnarray}$ (Nullmenge) aber A und B haben Volumen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Leider kann ich das nicht passend in mein Gegenbeispiel für die eigentliche Behauptung umformen...Jemand eine Idee? Ansonsten habe ich mir zu dem Gegenbeispiel noch folgendes überlegt: Ich wähle mir $\begin{eqnarray} \gamma_n\left(A_k\right) = \infty \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , denn sonst bin ich ab einem gewissem k wieder im endlichen und der Satz würde trotzdem greifen. D.h ich suche mir Mengen wie den R^n mit unendlichem Volumen die $\begin{eqnarray} A_{k+1}\subset A_k \end{eqnarray}$ erfüllen und zeige, dass der Schnitt kleiner wird, aber das Volumen der einzelnen Mengen stets unendlich ist. Oder kann es anders sein? Ich brauche eure Hilfe!
30.01.2010, 20:56	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest aus $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb R}^+ \end{eqnarray}$ die Intervalle $\begin{eqnarray} (0,n] \end{eqnarray}$ herausnehmen.
30.01.2010, 21:24	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Yeah, ich glaub das funzt! Prima, genau sowas hab ich gesucht. Danke!
31.01.2010, 22:52	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauso geht $\begin{eqnarray} A_k = \mathbb R. \end{eqnarray}$

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