zeigen, dass VR nicht vereinigung endl. vieler UVR sein kann

30.01.2010, 20:15	kolto	Auf diesen Beitrag antworten »
zeigen, dass VR nicht vereinigung endl. vieler UVR sein kann V ist ein Vektorraum über einem unendlichen Körper. Ich soll zeigen, das V nicht Vereinigung endlich vieler echter Unterräume sein kann. DA steht was von Indukzion undso, aber wir haben ein lemma das sagt: Sind U, W Unterräume so ist die Vereinigung genau dann ein UNterraum wenn U in W oder W in U enthalten ist. Kann ich dann nicht einfach sagen, dass Die Vereinigung von endliche vielen Unterräumen nur dann ein UNterraum ist, wenn alle in einem enthalten sind und die Dimension dieser Vereinigung wäre dann die dimension des größten echten unterraums aber damit immernoch kleiner als V und fertig?
31.01.2010, 00:31	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, wenn die Aufgabe wirklich so einfach zu lösen wäre, stünde dort nicht der Hinweis, einen Induktionsbeweis zu führen. Dies hier ist jedoch m.E. kein ganz einfacher Induktionsbeweis, trotzdem mal ein paar Tipps: Du hast einen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathcal V \end{eqnarray}$ und echte Unterräume $\begin{eqnarray} \mathcal U_1,...,\mathcal U_s \lneq \mathcal V \end{eqnarray}$ . Zeigen sollst du, dass $\begin{eqnarray} \mathcal V \neq \bigcup_{i=1}^s \mathcal U_i \end{eqnarray}$ . Führe dazu eine Induktion über $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ , was hier die Anzahl der Unterräume repräsentiert. Im Induktionsschritt ist die generelle Strategie, eine "Gerade" $\begin{eqnarray} G:=\{w+av ~\|~ a\in K\} \end{eqnarray}$ (dabei ist $\begin{eqnarray} v\in\mathcal U_s \setminus \bigcup\nolimits _{i=1}^{s-1}\mathcal U_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w\in\mathcal U_1 \setminus \mathcal U_s \end{eqnarray}$ - du solltest dir überlegen, warum die Existenz von v und w angenommen werden darf) durch s-1 Unterräume zu legen (Nachtrag: Dabei ist gerade zu zeigen, dass G nur durch höchstens s-1 Räume geht - das hatte ich hier also etwas unglücklich formuliert) und $\begin{eqnarray} \|\{a_i \in K ~\|~ w+a_iv \in \mathcal U_i\}\| \end{eqnarray}$ nach oben abzuschätzen. Mit der Überlegung $\begin{eqnarray} G\cap \mathcal V = G \end{eqnarray}$ kommt man so zur Behauptung. Wie gesagt, die Überlegungen erscheinen vielleicht etwas schwierig - jedoch ist das auch ein sehr schöner Beweis. Vielleicht hilft es auch, sich das Vorgehen mal für den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ aufzumalen oder für den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ vorzustellen.
31.01.2010, 11:46	kolto	Auf diesen Beitrag antworten »
mit geraden kann ich leider nichts anfangen. der tipp lautete: induktion über dimV und aufgabe a verwenden (in der habe ich gezeigt, dass es unendlich viele verschiedene nichttriviale n-1-dimensionale unterräume eines VRs über unendlichem körper gibt. mit n>=2) IA: DimV=2:jeder nichttriviale echte unterraum hat dimension 1, es gibt unendlich viele n-1=1 dimensionale unterräume die alle verschieden sind, d.h. jeder hat was was die andern nicht haben, deswegen fehlt in einer endlichen vereinigung immer etwas für V IV: gelte für ein n IS: sei jetzt V n+1 dimensional, dann hat V unendlich viele verschiedene n-dimensionale unterräume. jetzt komm ich aber nichtmehr weiter
31.01.2010, 12:55	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig sehe, benötigt man noch nicht mal eine Induktion, wenn man sich auf endlich-dimensionale Vektorräume und unendliche Körper beschränkt, wie du es hier offenbar tust. Das Argument, das du in deinem Induktionsanfang gebracht hast, sollte eigentlich schon die Sache erledigen. Überlege dir für einen n-dimensionalen Vektorraum V, dass er ja nach (a) unendlich viele verschiedene n-1-dimensionale Unterräume enthält, das heißt für eine endliche Vereinigung solcher Räume findest du immer einen weiteren Unterraum von V, der mit dieser Vereinigung nur einen trivialen Schnitt hat, was jedoch nicht sein kann, falls die Vereinigung schon der gesamte Raum wäre.

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