gleiche Eigenvektoren von kommutierenden, diagonalisierbaren A,B (nxn)-Matrizen |
| 31.01.2010, 00:28 | L={42} | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| gleiche Eigenvektoren von kommutierenden, diagonalisierbaren A,B (nxn)-Matrizen Die letzte Teilaufgabe meiner Aktuellen ÜS bringt mich mal wieder um den Schlaf. Ich soll - unter der Annahme, dass A,B 2 kommutierende, diagonalisierbare (nxn)-Matrizen sind - folgendes zeigen: Wenn alle Eigenwerte von A paarweise verschieden sind, so ist jeder Eigenwert von A auch Eigenwert von B. Ich wäre über einen Ansatz schon ganz froh. Ich weiß nicht so recht wie ich das angehen muss. Also irgendwie muss ja sowas dabei rauskommen: Av=x*v => Bv=y*v Ich hätte mich gern im Forum registriert um dann auch mal zu antworten, aber das hat bisher nicht geklappt mit der Email. Also Danke ich schon mal im Voraus, weil es im Nachhinein wohl nicht gehen wird. |
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| 31.01.2010, 13:23 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Av=µV BAv=ABv=µBv Bv ist also eigenvektor von A, da v aber schon einer ist und die dimension des eigenraumes 1 sein muss, muss Bv ein vielfaches von v sein, also Bv=lambda*v für ein lambda |
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| 31.01.2010, 13:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ kolto: Bitte mehr mit Tipps arbeiten. Gerade, da es die erste Antwort in diesem Thread ist. Danke. 
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| 31.01.2010, 14:53 | der_eine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum wissen wir dass die dimension des eigenraums 1 ist? Weil alle Lambda verschieden sind? |
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| 31.01.2010, 21:51 | der_eine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir das noch jemand plausibel erklären? Ich habe gezeigt, wenn v ein EV von A zu EW µ, dann auch Bv EV von A zu EW µ. Doch warum impliziert dies, dass Bv ein vielfaches von v ist. also warum ist der Eigenraum 1 Dimensional |
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| 01.02.2010, 01:51 | ~*Alexandra*~ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ich habe auch bei prof. Matveev ^^ knabber grad an der ersten und letzten aufgabe... also wir haben den eigenvektor ja so definiert, dass r*v wieder ein eigenvektor zu lambda ist, wobei r ein skalar ist und v eben ein Vektor. nun haben wir bei der 5a gezeigt, dass Bv auch ein EV zum EW lambda ist also gilt: Bv=Skalar mal v, wobei jedoch B kein Skalar ist, sondern eine Matrix. Aber probier doch einmal aus einen normalen Vektor von rechts an eine Matrix ranzumultiplizieren.... rechnest du meinetwegen M element Mat(3,3) mal K Element Mat(3,1) erhältst du eine 3x1 Matrix... |
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| 01.02.2010, 02:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur mal zur Info: In der Überschrift ist von gleichen Eigenvektoren die Rede, später von den Eigenwerten! Man nehme 2 komplett verschiedene Diagonalmatrizen, mit paarweise verschiedenen Diagonaleinträgen. Die Kommutieren sicher. Haben aber keinen Eigenwert gemeinsam! |
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| 01.02.2010, 03:56 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Es gibt also keine doppelten Eigenwerte. Da geometrische = algebraische Vielfachheit ist (siehe Kriterium für Diagonalisierbarkeit), muss die Dimension eines jeden Eigenraums (also die geom. VFH) Eins sein. |
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| 01.02.2010, 12:58 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, sorry. ich wollte sdie aufgabe auch lösen und als es mir dann gelungen ist war ich nso begeistert, dass ichs hier rein geschrieben hab 
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