Poisson/Wartezeit

31.01.2010, 00:42	FourC	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson/Wartezeit Nabend, ich habe hier einen Poissonprozess mit Gewicht $\begin{eqnarray} \lambda =2 \end{eqnarray}$ gegeben und soll nun die mittlere Wartezeit bis zum 12. Erfolg angeben. Ich habe hier die Erklärung gegeben, dass $\begin{eqnarray} T_{12} = \sum\limits_{k=1}^{12} Z_k \end{eqnarray}$ , wobei dies gamma-verteilt ist und $\begin{eqnarray} Z_k = T_k - T_{k-1} \end{eqnarray}$ die Wartezeit zwischen den Erfolgen angibt. Des weiteren weiß ich noch, dassder Erwartungswert $\begin{eqnarray} E[Z] = \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ ist. Muss ich für den Ewartungswert des zwölften erfolges jetzt nur 12 mal $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ aufaddieren? Danke schon mal
31.01.2010, 12:19	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn der Erwartungswert der Summe ist einfach die Summe der Erwartungswerte.
31.01.2010, 14:59	FourC	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon ma sehr gut. Jatzt habe ich noch eine weitere Frage bezüglich des Erwartungswertes. In dem Skript steht, wie ich es am Anfang geschrieben habe der Er watungswert sei l $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ . In einem anderen Beispiel habe ich aber gefunden, dass er exp( $\begin{eqnarray} l[latex]\frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ [/latex]) sei, wegen der Exponentialverteilung. Was ist denn richtig?
31.01.2010, 23:00	FourC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade rausgefunden, dass Wartezeit bis zum n-ten Erfolg gar nicht mehr exponentialverteilt ist, sondern der Gammaverteilung unterliegt, deren Erwartungswert $\begin{eqnarray} \frac{n}{\lambda } \end{eqnarray}$ . Ist das so? dann müsste ich also 12 mal 12/2 aufsummieren, was die Wartezeit ja extrem erhöhen würde.
01.02.2010, 09:37	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du mischt da jetzt zwei Dinge zusammen. ENTWEDER du betrachtest die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} Z_k \end{eqnarray}$ , da hast du 12 davon und jede ist Exponentialverteilt mit dem selben Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ODER du bertrachtest $\begin{eqnarray} T_{12} \end{eqnarray}$ als ganzes (und nicht aufgespaltet), da hast du nur eine solche gammaverteilte Zufallsvariable (und nicht gleich 12), allerdings eben mit Parametern 12 und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Dass in beiden Fällen $\begin{eqnarray} \frac{12}{\lambda} \end{eqnarray}$ herauskommt, ist kein Zufall. Die Exponentialverteilung ist nämlich eine spezielle Gammaverteilung. Schau dir mal das Additionstheorem für Gammaverteilungen an (Wikipedia), da wird vl einiges klarer dann.

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