Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierung einer Markovmatrix |
| 31.01.2010, 12:58 | Unskinner666 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierung einer Markovmatrix --> Link zur Aufgabe Moin, hab ein Problem bei der Aufgabe: Zeigen Sie das die Abbildung P einen Eigenwert (lambda1=1) hat, und das es einen zugehörigen EV (p) gibt, mit den Eigenschaften p1+p2+p3=1 und p1,p2,p3>0! So ich hab jetzt das Problem, das ich bei der Berechnung der EW's nicht auf lambda1=1 komme!Ich hab die AUfgabe jetzt schon 3 mal durchgerechnet! Ergebnis: für det(P-lambda+I)=0 (zur Berechnung der EW's) --> lambda^3+(3/4)lambda^2-(107/64)*lambda+25/64=0 wenn ich da jetzt allerdings 1 einsetze komm ich nicht auf 0!!! Hab ich mich da doch verrechnet??? |
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| 31.01.2010, 13:08 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm ich hab ein anderes Polynom für deine Matrix. Allerdings, wie hast du gerechnet? 
Du nimmst det(A-Lambda*E) -> Dann erhälst du ein Polynom dritten Grades und errechnest mit Umformen, drei Werte aus -> einer muss 1 sein...dann passts. Hier ist dein Eigenwert aber schon gegeben...demnach ist der obere Schritt machbar, aber nicht sinnvoll -> Du nimmst deine Matrix und ziehst von der Hauptdiagonalen überall 1 (da 1 als Eigenwert gegeben ist und 1=lambda) ab -> dann bildest du die Determinante -> Die muss 0 sein, dann stimmt es, dass 1 ein Eigenwert ist! Hoffe ich konnte helfen?! Und ich hab das beantwortet, was du wissen wolltest xDD (Polynom ausgerechnet ohne Wissen was rauskommen soll -> x^3 - 2,25x^2 + 105/64*x - 25/64 (x=lambda) EW1=0,625 EW2=0,625 EW3=1) |
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| 31.01.2010, 13:36 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » |
mhhh... wenn ich dass so mache: lambda=1 abgezogen auf Hauptdiagonalen: davon die Determinate ergibt doch nicht 0... nach 1. Spalte (Laplace'scher Entwicklungssatz) (-1/4)*((-1/4)*(-1/4)-(1/8)*(1/8))-(1/8)*((1/8)*(1/8)-(1/8)*(-1/4))+(1/8)*((1/8)*(1/8)-(1/8)*(-1/4))=0 -(3/256)-(3/512)+(3/512)=0 -3/512=0 --> falsche Aussage!!! was mach ich denn falsch??? |
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| 31.01.2010, 14:10 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm warum nimmst du nicht den Sarrus? Man verrechnet sich soo leicht bei deiner Variante! Du weisst über den Sarrus Bescheid? Es kommt dann 0 raus 1. Diagonale -> -0,25*-0,25*-0,25 2. Diagonale -> 1/8*1/8*1/8 usw. die 4.-6. abziehen -> =0 (Ich geh davon aus...dass du Sarrus kennst, sonst erklär ich dirs gern) (Ich rechne glei nommal mit dem Laplace nach :P) |
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| 31.01.2010, 14:12 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Noch NIE was von Sarrus gehört! Ich bin gespannt 
Danke |
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| 31.01.2010, 14:13 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da hast du dich irgendwo verrechnet. Vermutlich in 2. Spalte. |
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| 31.01.2010, 14:15 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
-(1/8)*((1/8)*(1/8)-(1/8)*(-1/4)) Dein Fehler müsste hier liegen. Du hast 1/8*1/8 gemacht -> aber es müsste 1/8*-1/4 sein Dann ändert sich das Vorzeichen -> wird positiv?! xD Ok moment ich muss mich für den Sarrus sammeln^^ |
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| 31.01.2010, 14:19 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst den Sarrus nur anwenden bis zu einer 3x3 Matrix... Da aber dies die häufigsten Matrizen sind ist diese Regel nicht zu verachten, da einfach (du wendest sie automatisch bei der 2x2 Matrix an) Also sie schaut wie folgt aus. Du hast eine Matrix: a b c d e f g h i Diese schreibst du nun um, in dem du die erste und zweite Spalte ein weiteres Mal hinschreibst. a b c a b d e f d e g h i g h Du multiplizierst nun jede Diagonale für sich und adddierst sie bzw. subtrahierst sie nach folgender Regel (a*e*i)+(b*f*g)+(c*d*h)-(g*e*c)-(h*f*a)-(i*d*b)=? (? in unserem Fall = 0 xD) Das ist die Regel von Sarrus und SEHR SINNVOLL, da einfach und schnell xD Ich hoff ich konnts rüberbringen^^ |
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| 31.01.2010, 15:01 | Unskinner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, das sollte mich jetzt weit genug brigen!!! Das ist echt hilfreich, hab die ganze Zeit nach so eine Lsg gesucht... nur wusste ich halt nicht wie's geht! Echt vielen Dank! werd mich gleich mal dran machen. Gruß Unskinner |
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| 31.01.2010, 15:05 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » |
Freut mich zu hören
Viel Spaß...und wenn weitere Hilfe gefragt sein sollte...ist immer jmd da xD |
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