exponentialfunktionsschar

31.01.2010, 16:27

Tinkerbell28

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exponentialfunktionsschar

Ich soll eine vollständige Funktionscharuntersuchung machen und die Ortslinie der Hochpunkte angeben.

fa(x)= ae^x-e^2x a>0 Die Ableitungen müssten so lauten, oder?
f`a(x)= ae^x-2e^2x
f``a(x)= ae^x-4e^2x
f```a(x)= ae^x-8e^2x

Dann weiß ich nicht so recht weiter.

31.01.2010, 16:35

vektorraum

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RE: exponentialfunktionsschar
Das scheint mir doch wohl eher Schul-Analysis zu sein, deshalb wird das mal verschoben.

Wie bestimmt man denn die Hochpunkte? Dann kannst du das hier gleich mal ausrechnen.

Die Ableitungen sind ja soweit richtig.

01.02.2010, 09:56

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
f`a(x)=0

ae^x-2e^2x=0
e^x(a-2e^x)=0

a-2e^x=0 I+2e^x
a=2e^x I/2
a/2=e^x I ln
ln(a/2)=x

nun weiß ich nicht wie ich das in fa(x) einsetzen soll um y zu errechnen.

01.02.2010, 10:18

klarsoweit

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RE: exponentialfunktionsschar
Verstehe ich nicht so ganz. Wie berechnet man denn den Funktionswert an einer Stelle x?

01.02.2010, 10:27

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
Ich habe doch jetzt die Extremstelle und will nun den Extrempunkt ausrechnen. Und dann muss ich noch errechnen ob ich einen Hoch-oder Tiefpunkt habe.

01.02.2010, 10:57

klarsoweit

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RE: exponentialfunktionsschar
Das ist schon klar. Aber ich verstehe jetzt dein Problem nicht. Was hindert dich, sowohl den Funktionswert als auch die 2. Ableitung für ln(a/2) auszurechnen?

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01.02.2010, 11:13

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
Ich weiß das ich das einsetzen muss.
Also
f´´a(lna/2)=ae^lna/2-4e^2lna/2
Ich weiß aber nicht wie ich das weiter ausrechnen kann.

01.02.2010, 11:23

klarsoweit

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RE: exponentialfunktionsschar

Zitat:

Original von Tinkerbell28
f´´a(lna/2)=ae^lna/2-4e^2lna/2

Spätestens hier empfiehlt es sich, Latex zu verwenden:

$\begin{eqnarray*} f_a''(ln(\frac a 2)) = a \cdot e^{ln(a/2)} - 4 \cdot e^{2 \cdot ln(a/2)} \end{eqnarray*}$

Was $\begin{eqnarray*} e^{ln(a/2)} \end{eqnarray*}$ ist, solltest du wissen. Bei $\begin{eqnarray*} e^{2 \cdot ln(a/2)} \end{eqnarray*}$ benötigt man elementare Kenntnisse der Potenzregeln: $\begin{eqnarray*} e^{2x} = (e^x)^2 \end{eqnarray*}$ .

01.02.2010, 11:49

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Tinkerbell28
f´´a(lna/2)=ae^lna/2-4e^2lna/2

Spätestens hier empfiehlt es sich, Latex zu verwenden:

$\begin{eqnarray*} f_a''(ln(\frac a 2)) = a \cdot e^{ln(a/2)} - 4 \cdot e^{2 \cdot ln(a/2)} \end{eqnarray*}$

Was $\begin{eqnarray*} e^{ln(a/2)} \end{eqnarray*}$ ist, solltest du wissen. Bei $\begin{eqnarray*} e^{2 \cdot ln(a/2)} \end{eqnarray*}$ benötigt man elementare Kenntnisse der Potenzregeln: $\begin{eqnarray*} e^{2x} = (e^x)^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß gar nicht was Latex ist und
ich stehe immer noch auf dem Schlauch.
Ich wäre sehr dankbar für weitere Tipps.

01.02.2010, 12:05

klarsoweit

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RE: exponentialfunktionsschar

Zitat:

Original von Tinkerbell28
Ich weiß gar nicht was Latex ist und

Das ist ein Code zum Schreiben mathematischer Formeln. Der sollte dir in meinem Beitrag, den du zitiert hast, begegnet sein.

Zitat:

Original von Tinkerbell28
ich stehe immer noch auf dem Schlauch.

Du solltest den Logarithmus kennen und wissen, was $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$ ist.

01.02.2010, 12:30

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
Ok, ist mir begegnet, habe ich vorher noch nie gesehen, werde es aber versuchen.

ln(x) ist doch die Umkehrung der Exponentialfunktion, oder?

01.02.2010, 12:50

Mulder

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RE: exponentialfunktionsschar
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion, ja. Also?

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = \, ? \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 13:04

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar

Zitat:

Original von Mulder
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion, ja. Also?

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = \, ? \end{eqnarray*}$

ln( $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 13:08

klarsoweit

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RE: exponentialfunktionsschar
verwirrt

verwirrt

01.02.2010, 13:20

Max Mustermann

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RE: exponentialfunktionsschar
tut mir leid, aber:
$\begin{eqnarray*} ln(e^{x}) \neq e^{x} \end{eqnarray*}$
Tip: ln(x) ist die Gegenoperation zu $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 13:39

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
$\begin{eqnarray*} ln(e^x) \end{eqnarray*}$ =e^e^x

01.02.2010, 13:45

Mulder

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RE: exponentialfunktionsschar
Scheinbar wird das nichts mehr. Das hat ja so keinen Sinn. Die Umkehrfunktion kehrt gewissermaßen die ursprüngliche Funktion wieder um.

Wenn also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von x nach e^x abbildet, dann kehrt die zugehörige Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ diesen Prozess wieder um, bildet also wieder von e^x nach x ab. Also ist:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)} = \ln(e^x) =x \end{eqnarray*}$

Ich verstehe auch nicht, warum du das nicht weißt!? Genau das hast du doch auch bei der Berechnung der Extremstelle schon verwendet?

01.02.2010, 13:49

klarsoweit

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RE: exponentialfunktionsschar

Zitat:

Original von Tinkerbell28
$\begin{eqnarray*} ln(e^x) \end{eqnarray*}$ =e^e^x

Pepe Nietnagel: man faßt es nicht. unglücklich

unglücklich

Manchmal frage ich mich, was sich die Leute denken.

01.02.2010, 13:55

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
Ist ja schön, dass du so ein Mathegenie bist. Ich bin es nicht, darum frag ich ja. Ich will es ja lernen.
Aber erklären ist ja nicht deine Stärke. Vielen Dank auch!

01.02.2010, 14:17

klarsoweit

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RE: exponentialfunktionsschar
In der heutigen Taschenrechner verliebten Generation sollte es möglich sein, $\begin{eqnarray*} ln(e^x) \end{eqnarray*}$ mal für ein paar Werte auszurechnen, wenn einem denn gar nichts mehr einfällt. Und wenn man mit ln und e-Funktion rum macht, sollte man auch mal was von dem Begriff "Umkehrfunktion" gehört haben.

01.02.2010, 14:27

Max Mustermann

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RE: exponentialfunktionsschar
Wir sind hier nicht zum streiten sondern zum helfen!
Also, was machst du jetzt mit dieser Formel?
$\begin{eqnarray*} f_a''(ln(\frac a 2)) = a \cdot e^{ln(a/2)} - 4 \cdot e^{2 \cdot ln(a/2)} \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 16:37

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar

Zitat:

Original von Max Mustermann
Wir sind hier nicht zum streiten sondern zum helfen!
Also, was machst du jetzt mit dieser Formel?
$\begin{eqnarray*} f_a''(ln(\frac a 2)) = a \cdot e^{ln(a/2)} - 4 \cdot e^{2 \cdot ln(a/2)} \end{eqnarray*}$

Auf die Gefahr hin das ich mich total blamiere.
Also $\begin{eqnarray*} = a*ln(e^a/2)-4*ln(e^a/4) \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 16:46

Mulder

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RE: exponentialfunktionsschar
Wir waren doch schon hier angekommen:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)} =x \end{eqnarray*}$

Was ist dann $\begin{eqnarray*} e^{\ln\left (\frac{a}{2} \right )} \end{eqnarray*}$ ?

Und für den letzten Term verwendest du noch die Potenzgesetze, die klarsoweit schon angesprochen hatte:

$\begin{eqnarray*} e^{2 \ln\left (\frac{a}{2} \right )} = \left (e^{ \ln\left (\frac{a}{2} \right ) } \right ) ^2 \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 16:50

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
Also ist
$\begin{eqnarray*} e^ln(a/2)=a/2 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} e^2ln(a/2)= a²/4 \end{eqnarray*}$

01.02.2010, 16:54

Mulder

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RE: exponentialfunktionsschar
Ja. smile

smile

PS: Für längere Ausdrücke im Exponenten setze den Ausdruck in geschweifte Klammern! Dieser Art: e^{ln(a/2)}

01.02.2010, 16:58

Tinkerbell28

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RE: exponentialfunktionsschar
Vielen Dank für die Geduld, jetzt ist der Grosche gefallen. smile

smile

Und danke für den Latex Tipp.

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