Komplexer Logarithmus

31.01.2010, 18:55

log(z)

Komplexer Logarithmus

Hallo,

ich habe ein Problem mit unserer Herleitung des komplexen Logarithmus. Und zwar haben wir folgendes aufgeschrieben:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{C} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ eine ganz in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ enthaltene offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} z_0=1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} g_0(z) = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in K_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_0:K_0 \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ definiert als die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_0(1) = 0 \end{eqnarray*}$ . Aus der reellen Analysis kennen wir die Potenzreihenentwicklung des reellen Logarithmus für $\begin{eqnarray*} z \in (0,2] \end{eqnarray*}$ . Da sich $\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ längs jeder Kreiskette in $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{C} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ analytisch fortsetzen läßt, gilt das auch für $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ (das hatten wir vorher als Satz).
Jedoch gibt es keine in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ holomorphe Fortsetzung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sonst wäre dies eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g_1(z) = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ - im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \int_{|z|=r} \frac{dz}{z} = 2 \pi i \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

1) Mein erstes Problem ist die Sache mit der Stammfunktion. Angenommen, g besitzt eine Stammfunktion und wir nehmen als Weg den Einheitskreis. Um mit dem Cauchyschen Integralsatz zu argumentieren müssen wir doch einen nullhomologen Weg benutzen. Aber wir haben die 0 doch ausgeschlossen, so dass der Einheitskreis nicht nullhomolog ist und als Umlaufzahl 1 herauskommt. Wo liegt denn dann der Widerspruch?

2) Später haben wir aufgeschrieben, dass die analytische Fortsetzung des Logarithmus längs Kreisketten einmal um den Nullpunkt herum auf einen Nebenzweig des Logarithmus führt, nämlich $\begin{eqnarray*} f_1 = f_0 + 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Das verstehe ich leider überhaupt nicht. Mir ist natürlich klar, dass die Exponentialfunktion jeden $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ breiten Horizontalstreifen bijektiv auf die geschlitzte Ebene abbildet und deren Umkehrfunktion dann ein Zweig des Logarithmus ist. Aber wie erkläre ich mir, dass der Weg um den Nullpunkt herum gerade auf den Zweig $\begin{eqnarray*} f_0 + 2 \pi \end{eqnarray*}$ führt? Warum z.B. nicht auf $\begin{eqnarray*} f_0 - 2 \pi \end{eqnarray*}$ ? Das hängt vielleicht mit meinem ersten Problem zusammen - mir ist nämlich noch gar nicht richtig klar, warum die Fortsetzung überhaupt auf einen anderen Zweig führt.

Vielleicht kann mir jemand das ein oder andere klarer machen. Ich würde mich freuen! smile

31.01.2010, 20:20

system-agent

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Es gibt einen anderen Satz, der besagt, dass für eine offene Menge $\begin{eqnarray*} D\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ und eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ folgendes äquivalent ist:
(i) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist integrabel in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$
(ii) Für jeden geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\gamma}f\,\dd z=0 \end{eqnarray*}$ .

Was das zweite angeht, da empfehle ich dir einmal das Bild auf Wikipedia anzusehen.
Auf welchen Zweig dich dein Weg führt hängt davon ab, in welcher "Richtung" du deinen Weg gehst.

01.02.2010, 14:18

log(z)

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Oh ja, den Hauptsatz der Integralrechnung hatte ich gar nicht bedacht. Dann ist das schonmal klar.

Aber die Riemannsche Fläche habe ich noch nicht verstanden. Ich könnte es zwar einfach so hinnehmen, aber verstehen wäre mir schon lieber. Kann man diese "Form" der Riemannschen Fläche ohne Topologiekenntnisse erklären? Oder denkt man sich einfach, dass man auf einen anderen Zweig kommen muss (ist mir glaube ich klar, nachdem mein 1) Problem gelöst ist), und der "neue" Zweig an den "alten" Zweig sozusagen angrenzen muß (da die Fortsetzung ja analytisch ist)?

Oder ist es sogar ganz einfach und ich mache mir zu viele Gedanken?

01.02.2010, 17:40

system-agent

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Alle Logarithmusfunktionen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{-} \end{eqnarray*}$ sind von der Form $\begin{eqnarray*} \log(z)+2\pi i n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \log(z) \end{eqnarray*}$ den Hauptzweig bezeichne.

Den Hauptzweig kannst du auch schreiben als $\begin{eqnarray*} log(z)=\ln(|z|)+i\text{arg}(z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ dem reellen Logarithmus.

Stell dir vor, du läufst nun von -1 ausgehend [ausschliesslich dieser Zahl] zb. am Einheitskreis entlang, gegen den Uhrzeigersinn, dann hast du, wenn du wieder bei -1 ankommst, dein Argument um $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ erhöht, also bist du auf dem nächst höheren Blatt angekommen und nun hast du die "nächste" Logarithmusfunktion erreicht.
Ähnlich verringert sich beim entgegengesetzen Durchlauf dein Argument und du kriegst den "tieferen" Logarithmus.

Um es so auszudrücken, klebst du die ganzen Werte der verschiedenen Logarithmusfunktionen aneinander.

Leider kann ich dir das nicht genauer ausführen.
Würde mich aber auch interessieren, wenn da jemand genauer werden kann Augenzwinkern

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