Einfaches Beispiel von Folgen. Bitte kurze Kontrolle

31.01.2010, 19:02	schorsch2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfaches Beispiel von Folgen. Bitte kurze Kontrolle Edit: Link zu externem Bildhoster entfernt. Bitte Bilder direkt im Board hochladen! system-agent Das hier ist mein Beispiel. Ich hab es zwar gerechnet doch leider weiss ich nicht ob meine Behauptungen stimmen. Kann mal wer kurz drübersehen? zu a) $\begin{eqnarray} 0<a<c \Rightarrow a<\sqrt{ac}<c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <c \Rightarrow ac < c^{2} \Rightarrow ac < cc \Rightarrow a < c \end{eqnarray}$ oder? und a muss grösser sein als 0 weil sonst $\begin{eqnarray} \sqrt{ac} \end{eqnarray}$ auch 0 wäre. zu b) Induktions anfang wär mal: $\begin{eqnarray} a_{n} < c \end{eqnarray}$ Das stimmt da wir ja sagen dass $\begin{eqnarray} 0< a_{n} < c \end{eqnarray}$ Induktionsbehauptung wäre dann: $\begin{eqnarray} a_{n+1} < c \end{eqnarray}$ Induktionsschluss wäre: $\begin{eqnarray} a_{n+1} < c \Rightarrow \sqrt{a_{n}c} < c \Rightarrow a_{n} c <c^{2} \end{eqnarray}$ oder lieg ich da falsch? zu c) Ich würd sagen dass sie streng monoton wachsend $\begin{eqnarray} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray}$ Weil wenn ich die Werte durchrechne kommt das raus. $\begin{eqnarray} 1, c^{\frac{1}{2}},c^{\frac{3}{4}},c^{\frac{7}{8}},...,c^{\frac{2^{n}-1}{2^{n}}} \end{eqnarray}$ zu d) Wenn man sich die obenstehende Folge ansieht scheint der Grenzwert c zu werden. Das gilt es noch zu beweisen. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } c^{\frac{2^{n}-1}{2^{n}}} = \lim_{n \to \infty } c^{\frac{2^{n}}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n}}}=c^{1-0} = c \end{eqnarray}$

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