Symmetrische/schiefsymmetrische Matrizen und ihre Inverse

31.01.2010, 18:24

chipbit

Symmetrische/schiefsymmetrische Matrizen und ihre Inverse

Hallo,
ich habe ein kleines Problem bei folgender Aufgabe:

"Sei A eine invertierbare quadratische Matrix. Beweisen Sie: Ist A symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch, so ist auch $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch."

So, an sich habe ich mal angefangen mit:
Sei A invertierbar, dann gilt $\begin{eqnarray*} A*A^{-1}=E_n \end{eqnarray*}$ und ferner, ist A symmetrisch, dann gilt $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ .

Nach Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ und es existiert eine Matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A*A^{-1}=E_n \end{eqnarray*}$ .
Aus $\begin{eqnarray*} E_n=A*A^{-1} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} {E_n}^T={(A*A^{-1})}^T=A^T*{(A^{-1})}^T \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich der Meinung ich müsste irgendwie $\begin{eqnarray*} A^T=A \end{eqnarray*}$ (n.V.) und $\begin{eqnarray*} E_n={E_n}^T \end{eqnarray*}$ verwenden, aber ich komme nicht wirklich weiter.
Ich muss dazu sagen, dass Beweise einfach nicht meine Stärke sind.
Vielleicht kann mir von euch jemand helfen?
LG, chip

edit: da haben ein paar Klammern gefehlt... geschockt

31.01.2010, 18:31

tigerbine

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RE: Symmetrische/schiefsymmetrische Matrizen und ihre Inverse
Es ist $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AA^{-1} = E_n \end{eqnarray*}$ gegeben. Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} A^{-1} = (A^{-1})^T \end{eqnarray*}$ .

Ansatzidee: $\begin{eqnarray*} (AA^{-1})^T = (E_n)^T \end{eqnarray*}$

31.01.2010, 22:33

chipbit

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RE: Symmetrische/schiefsymmetrische Matrizen und ihre Inverse
Danke Tigerbine für deinen Ansatz...das war ja praktisch auch meiner, hatte nur die Klammern vergessen nochmal extra im LATEX zu setzen.
Und wie du siehst komm ich von diesem Anstaz nicht wirklich weiter.
Ich würde es wieder so schreiben $\begin{eqnarray*} {E_n}^T={(AA^{-1})}^T=A^T{(A^{-1})}^T \end{eqnarray*}$
Und dann eben wieder das was ich oben schon dachte. Ich meine, ich weiß man kann $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T={(A^T)}^{-1} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber hilft mir das weiter?
Dann könnte man $\begin{eqnarray*} {E_n}^T=\frac{A^T}{A^T} \end{eqnarray*}$ schreiben, was ja irgendwie unsinnig ist.

31.01.2010, 22:35

tigerbine

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RE: Symmetrische/schiefsymmetrische Matrizen und ihre Inverse
BRÜCHE, will ich mit Matrizen nicht mehr sehen!

Ansatzidee: $\begin{eqnarray*} (AA^{-1})^T = (E_n)^T \end{eqnarray*}$

Löse links mal korrekt die Klammer auf.

31.01.2010, 23:04

chipbit

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Okay, sorry, war so im Schreibwahn und hab nicht mehr drauf geachtet das ich ja mit Matrizen arbeite.... Hammer

Also..korrekt aufgelöst ergibt sich $\begin{eqnarray*} {(AA^{-1})}^T={(A^{-1})}^TA^T \end{eqnarray*}$
wenn ich dann jetzt weiß das $\begin{eqnarray*} A^T=A \end{eqnarray*}$ , kann ich dann nicht daraus schliessen das $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T=A^{-1} \end{eqnarray*}$ sein muss?

31.01.2010, 23:09

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} (AA^{-1})^T = (E_n)^T \end{eqnarray*}$

Wird zu

$\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^TA^T = (E_n)^T \end{eqnarray*}$

die rechte Seite kann man ja auch noch vereinfachen. Und was kann man statt A^T schreiben?

31.01.2010, 23:22

chipbit

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$\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^TA^T = (E_n)^T \end{eqnarray*}$
wird dann zu
$\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^TA=E_n \end{eqnarray*}$ ??? Weil ja gilt $\begin{eqnarray*} A^T=A \end{eqnarray*}$ , da A symmetrisch sein soll.
Und bei der Einheitsmatrix gilt das ja sowieso.

31.01.2010, 23:34

tigerbine

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So, und nun soll das A weg. Mit was muss man beide Seiten von rechts multiplizieren?

31.01.2010, 23:41

chipbit

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mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ ?
Dann würde man $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^TAA^{-1}=E_nA^{-1} \end{eqnarray*}$ erhalten, was dann $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^TE_n=E_nA^{-1} \end{eqnarray*}$ ergeben würde. Und dann würde ja praktisch $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T=A^{-1} \end{eqnarray*}$ dastehen, gell? Wegen der Voraussetzung das eben $\begin{eqnarray*} AA^{-1}=E_n \end{eqnarray*}$ .

31.01.2010, 23:44

tigerbine

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Zitat:

Original von chipbit
mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ ?
Freude

Dann würde man $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^TAA^{-1}=E_nA^{-1} \end{eqnarray*}$ erhalten, was dann $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^TE_n=E_nA^{-1} \end{eqnarray*}$ ergeben würde. Und dann würde ja praktisch $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T=A^{-1} \end{eqnarray*}$ dastehen, gell?

Aber wegen $\begin{eqnarray*} E_nA^{-1}=A^{-1} \end{eqnarray*}$ . Denn die Einheitsmatrix ist doch neutrales Element der Multiplikation.

edit: ok, du meinstest auf der linken Seite. Passt.

31.01.2010, 23:48

chipbit

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achso, ja seh grad, das könnte verwirren....meinte ich schon so...hab das mit dem neutralen Element schon vorausgesetzt.

Vielen, lieben Danke für deine Hilfe und Geduld Gott

LG, chip

31.01.2010, 23:53

tigerbine

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War doch gar nicht so schwer. Wink

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