Alternierende Gruppe: Rechtsnebenklasse = Linksnebenklasse?

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01.02.2010, 13:27	Jaksu	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternierende Gruppe: Rechtsnebenklasse = Linksnebenklasse? Hallo, ich hänge hier seit einiger Zeit an einer Aufgabe, für die mir irgendwie völlig der Ansatz fehlt. Forensuche und Google haben zwar einiges an interessanten Informationen zu Tage gefördert, aber wirklich weitergekommen bin ich nicht. Gegeben ist die symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ und die dazu gehörende alternierende Gruppe $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ . Ich soll begründen, warum für alle $\begin{eqnarray} x \in S_{n} \end{eqnarray}$ die Linksnebenklasse $\begin{eqnarray} xA_{n} \end{eqnarray}$ gleich der Rechtsnebenklasse $\begin{eqnarray} A_{n}x \end{eqnarray}$ ist. Ich bin an sich nur soweit gekommen, dass die alternierende Gruppe ja ausschließlich aus den geraden Permutationen von $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ besteht. Diese kann ich als Aneinanderreihung von Transpositionen auffassen. Den ganzen Spaß habe ich mal für $\begin{eqnarray} A_{3} \end{eqnarray}$ und ein beliebiges $\begin{eqnarray} x \in S_{3} \end{eqnarray}$ durchprobiert und konnte dann schön sehen, wie sich identische Mengen ergaben, weil sich entweder doppelte nacheinander ausgeführte Transpositionen wegkürzten oder die erhaltenen Verkettungen schlichtweg identisch waren. Wie ich das jetzt aber verallgemeinere, habe ich keinen Schimmer =( Danke schonmal für jeden Gedankenanstoß! Jaksu
01.02.2010, 17:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es reicht völlig über die Ordnung zu argumentieren
01.02.2010, 18:26	Jaksu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternierende Gruppe: Rechtsnebenklasse = Linksnebenklasse? Hallo, wie das? Meines Wissens hat $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ die Ordnung $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ die Ordnung $\begin{eqnarray} \frac{n!}{2} \end{eqnarray}$ . Jede Nebenklasse muss dann ja ebenfalls die Ordnung $\begin{eqnarray} \frac{n!}{2} \end{eqnarray}$ haben. Was fange ich damit aber jetzt an? lG
01.02.2010, 18:35	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Nebenklasse gibt es immer, die andere müssen dann die restlichen Elemente sein
01.02.2010, 21:13	Jaksu	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber es gibt doch mehr als 2 Nebenklassen? Das die Gesamtheit der Nebenklassen identisch ist, muss ja gelten. Wieso kann ich schließen, dass hier immer xA=Ax gilt?
01.02.2010, 21:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein es gibt genau 2 Nebenklassen. Mache dir das klar, dann ist es nicht mehr weit zur Aussage
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01.02.2010, 22:36	Jaksu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ah, okay, langsam wird es etwas klarer. Nur bei dem "warum?" bin ich noch etwas unsicher. Stimmt meine folgende Überlegung soweit? Jede Permutation aus $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ ist entweder gerade oder ungerade. $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ enthält immer nur die gerade Permutationen. Wenn ich jetzt also eine Permutation aus $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ nehme und sie mit jeder der Permutationen von $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ jeweils verkette, können folgende Fälle eintreten: 1) Ich verkette eine ungerade Permutation jeweils mit allen geraden Permutationen. Das Ergebnis ist die Menge aller ungeraden Permutationen. 2) Ich verkette eine gerade Permutation jeweils mit allen geraden Permutationen. Das Ergebnis ist logischerweise die Menge aller geraden Permutationen. Und weil gerade + gerade = gerade bzw. gerade + ungerade = ungerade gilt, unabhängig davon, ob ich von rechts oder links verkette, muss die entstehende Rechtsnebenklasse mit der entstehenden Linksnebenklasse identisch sein. Vielen Dank schonmal!
01.02.2010, 22:44	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Argumentation stimmt jetzt zwar nur für die symmetrische Gruppe aber ist trotzdem korrekt
01.02.2010, 22:52	Jaksu	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen =)

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