Aussagen wahr/falsch? Quadrik

01.02.2010, 18:48

Physinetz

Aussagen wahr/falsch? Quadrik

Hallo, bin auf 2 Aussagen gestoßen, bei denen ich nicht weiterkomme:

Sei A Element von reellen quadratischen Matrizen und sei v Eigenvektor von A:

v ist Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A^4+A^3+E_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A+A^T \end{eqnarray*}$ ist diagonalisierbar

Hmm wieso sind beide Aussagen wahr? Zur ersten vielleicht: Wenn man A auf Diagonalgestalt bringen würde, könnte man ganz einfach die Eigenvektoren potenzieren, und man hätte Vielfache davon? Aber dann wäre immer noch die Einheitsmatrix im Wege

Zu 2: fällt mir nichts zu ein leider...

Ich soll für die Quadrik:
$\begin{eqnarray*} x_1^2+6x_1*x_2+9x_2^2-5=0 \end{eqnarray*}$ die für R² definiert ist, die affine Klassifikation angeben... Muss ich nun etwa Hauptachsentransformation anwenden um auf die Normalform zu kommen?

Gruß und Danke Physinetz

01.02.2010, 20:46

Physinetz

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Sehe gerade dass ich in die Schulmathematik geraden bin, bitte verschieben, thx

Edit (Gualtiero): Erledigt.

01.02.2010, 20:58

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Zu 1.: Rechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} (A^4+A^3+E_n)\cdot v \end{eqnarray*}$ aus. Kommt ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ heraus, dann stimmt die Aussage.

Zu 2.: $\begin{eqnarray*} A+A^T \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch, d.h., ...

02.02.2010, 18:52

Physinetz

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zu 1) Das in einer 90 Minütigen Prüfung zu machen, wo die Überprüfung dieser Aussage 1 von 64 Punkte gibt, dauert doch sicherlich zu lange, gibts da nichts schnelleres?

2) Symmetrisch? Wie kommt man da drauf?

02.02.2010, 19:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von Physinetz
zu 1) Das in einer 90 Minütigen Prüfung zu machen, wo die Überprüfung dieser Aussage 1 von 64 Punkte gibt, dauert doch sicherlich zu lange, gibts da nichts schnelleres?

Die Aufgabe ist in 10 Sekunden zu machen...

Zitat:

Original von Physinetz
2) Symmetrisch? Wie kommt man da drauf?

Ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T. \end{eqnarray*}$

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