Erzeugendensystem eines Unterraums U

01.02.2010, 19:54	Baldprüfung:D	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem eines Unterraums U Hallo, Ich habe die Vektoren a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} a_{2} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} a_{3} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} a_{4} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} und die bilden ein Erzeugendensystem eines Unterraumes U des \mathbb R^{n}. dazu 3 Aufgaben bei den ich überhaupt nicht weiterkomme. a)Welche Dimension hat U? b)Bestimmen Sie eine Teilmenge der gegebenen Vektoren, die eine Basis von U ist. c) Stellen sie jeden der übrigen Vektoren als Linearkombination der in b) bestimmten Basisvektoren. zu a) dort habe ich mithilfe des Gaußschen Eliminierungsverfahren die Matrix auf Stufenform gebracht. \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} so jetzt gibt es das erste Problem. der Rang wäre ja 3, bei uns weiß aber irgendwie keiner wie man die Dimension bestimmen kann. Viele meinen Rang = Dimension, aber das stimmt nicht. Oder doch? zu b) hier brauch ich viel hilfe, hab das Prinzip nicht verstanden. zu c) siehe b. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!
01.02.2010, 20:00	Ich nochma	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich habe die Vektoren $\begin{eqnarray} a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> a_{2} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> a_{3} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} <br /> a_{4} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die bilden ein Erzeugendensystem eines Unterraumes U des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ . dazu 3 Aufgaben bei den ich überhaupt nicht weiterkomme. a)Welche Dimension hat U? b)Bestimmen Sie eine Teilmenge der gegebenen Vektoren, die eine Basis von U ist. c) Stellen sie jeden der übrigen Vektoren als Linearkombination der in b) bestimmten Basisvektoren. zu a) dort habe ich mithilfe des Gaußschen Eliminierungsverfahren die Matrix auf Stufenform gebracht. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so jetzt gibt es das erste Problem. der Rang wäre ja 3, bei uns weiß aber irgendwie keiner wie man die Dimension bestimmen kann. Viele meinen Rang = Dimension, aber das stimmt nicht. Oder doch? zu b) hier brauch ich viel hilfe, hab das Prinzip nicht verstanden. zu c) siehe b. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!
01.02.2010, 23:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a): Das ist schon korrekt. Durch elementare Zeilenumformungen verändert sich die Dimension des von den Spalten aufgespannten Unterraums nicht. Die Dimension ist also 3. Zu b)+c): Was bedeutet denn der Begriff Dimension? Damit solltest Du dann auch erkennen, wie viele Vektoren in einer Basis von U sind. Gibt es in Deiner Zeilenstufenmatrix Vektoren, bei denen ein Weglassen den Rang verändern würde? Gruß, Reksilat.

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