Differentialgleichung: Zeige: A ist schiefsymmetrisch, wenn Lösungskurve auf fester Sphäre verläuft

01.02.2010, 22:28

Very

Differentialgleichung: Zeige: A ist schiefsymmetrisch, wenn Lösungskurve auf fester Sphäre verläuft

Hallo,
ich habe diese Aufgabe gegeben:

[attach]13272[/attach]

Leider weiß ich gar nicht, wie ich hier herangehen könnte.
Ich soll irgendwie aus der Konstanz der Norm darauf schließen, dass A in dem gegebenen System schiefsymmetrisch ist.
Hat mir da vielleicht jemand einen Tipp?
Ich habe mir überlegt, diese konstante Norm allgemein hinzuschreiben und damit weiterzurechnen. Aber da weiß ich schon nicht, wie ich das allgemein hinschreiben könnte...

Gruß,
Very

02.02.2010, 16:33

Leopold

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Beginnen wir einmal mit der schwierigeren Richtung, nämlich dem Schluß auf die Schiefsymmetrie.

Es seien die $\begin{eqnarray*} x_j = x_j(t) \end{eqnarray*}$ die Komponenten von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} a_{ij} = a_{ij}(t) \end{eqnarray*}$ die Elemente der Matrix $\begin{eqnarray*} A(t) \end{eqnarray*}$ . Es gibt eine Konstante $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \sum_i x_i^{\, 2} = c^2 \end{eqnarray*}$

Durch Differenzieren erhält man daraus

$\begin{eqnarray*} \sum_i x_i x_i' = 0 \end{eqnarray*}$

Man setzt nun $\begin{eqnarray*} x_i' = \sum_j a_{ij} x_j \end{eqnarray*}$ ein und erhält

$\begin{eqnarray*} \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \sum_i a_{ii} x_i^{\, 2} + \sum_{i<j} \left( a_{ij} + a_{ji} \right) x_i x_j = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich gerne darauf schließen, daß so etwas nur gehen kann, wenn alle Koeffizienten 0 sind, also $\begin{eqnarray*} a_{ii} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ij} = -a_{ji} \end{eqnarray*}$ . Das wäre die Schiefsymmetrie von $\begin{eqnarray*} A(t) \end{eqnarray*}$ . Ich sehe aber nicht, wie man das in einfacher Weise bekommt, da ja nicht nur die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , sondern auch die $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängen. Ich vermute, daß man da noch weitere Eigenschaften von Lösungsräumen homogener linearer Differentialgleichungssysteme investieren muß. Vielleicht ist es aber auch nur ein kleiner Schritt zum Ziel.

Weiß jemand anderes Rat?

05.02.2010, 19:15

Very

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Erst mal Danke für deine Antwort.
Also ich habe verstanden, dass wir erst einmal die einzelnen Komponenten von x und A benennen. Können wir dabei nicht davon ausgehen, dass A eine quadratische Matrix ist? Sonst kann sie doch nicht schiefsymmetrisch sein, oder? Dann hätten wir unten rechts z.B. die $\begin{eqnarray*} a_{jj} \end{eqnarray*}$ - te Komponente. Vielleicht hilft uns das ja etwas weiter?

Aber woher hast du das hier?

Zitat:

Man setzt nun $\begin{eqnarray*} x_i' = \sum_j a_{ij} x_j \end{eqnarray*}$ ein

Ich sehe irgendwie nicht, wo das herkommt. Wir haben doch bis jetzt nur die einzelnen Komponenten der Matrix und des Vektors benannt und die feste Sphäre mit c benannt.

Dann noch hierzu:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \sum_i a_{ii} x_i^{\, 2} + \sum_{i<j} \left( a_{ij} + a_{ji} \right) x_i x_j = 0 \end{eqnarray*}$

Den ersten Teil erhälst du jetzt ja durch Einsetzen. Der Teil rechts kommt dann daher, dass aus $\begin{eqnarray*} A(t)^T=-A(t) \Rightarrow A(t)^T+A(t)=0 \end{eqnarray*}$
Nur irgendwie bringe ich das noch nicht so ganz mit deiner viel ausführlicheren Darstellung in Einklang. Also wie komme ich von $\begin{eqnarray*} A(t)^T+A(t)=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sum_i a_{ii} x_i^{\, 2} + \sum_{i<j} \left( a_{ij} + a_{ji} \right) x_i x_j = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Du hast ja geschrieben, dass wir erst den schwierigeren Teil machen. Wie könnten wir denn dann beim einfacheren Teil in die andere Richtung ansetzen? Vielleicht verstehe ich den schwierigeren besser, wenn ich den leichteren kenne.

Grüße

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