Konvergenz und Grenzwert

02.02.2010, 08:53

matcho

Konvergenz und Grenzwert

wir sollen auf konvergenz untersuchen und ggf den GW ermitteln:

$\begin{eqnarray*} an = \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

wie sollte da am besten umgeformt werden? mit der kartesischen 1 erweitern?
wäre über einen ansatz sehr dankbar

02.02.2010, 09:03

Kühlkiste

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RE: Konvergenz und Grenzwert
Keine Ahnung was die "kartesische Eins" sein soll.

Mit einer kleinen Umformung kannst Du den Grenzwert aber einfach ablesen.

Beachte dazu: $\begin{eqnarray*} (a-b)=\frac{a^2-b^2}{a+b} \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 09:05

matcho

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ja eben, das ist doch die kartesische eins, oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 09:24

Kühlkiste

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Zitat:

Original von matcho
ja eben, das ist doch die kartesische eins, oder?

Wie ich schon sagte ist mir dieser Begriff nicht geläufig.
Häufig wird eine Umformung dieser Art mit der 3. binomischen Formel charakterisiert.

Zitat:

Original von matcho
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Da hast Du zwar richtig erweitert aber warum Du den Zähler nicht vereinfachst verstehe ich nicht. Das war doch das Ziel der Übung.

02.02.2010, 09:36

matcho

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weil ich danach trotzdem nix gescheites erkennen kann

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n})^2 - (\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n})^2}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

so müsste es doch richtig sein, oder?

02.02.2010, 09:46

Kühlkiste

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Zitat:

Original von matcho
so müsste es doch richtig sein, oder?

Nö!

Guck Dir die Formel aus meinem ersten Beitrag noch genau mal an und setze darin

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{n+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{n}. \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 10:07

matcho

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ok, stimmt...das war nix
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}=\frac{(n + \sqrt{n}) - n}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}} = <br /> \end{eqnarray*}$
soweit passt es, oder?

02.02.2010, 10:15

Kühlkiste

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Zitat:

Original von matcho
soweit passt es, oder?

Jawoll!

02.02.2010, 10:26

matcho

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zwischenfrage
folgende umformung ergibt keinen sinn, oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + x = x \cdot (\sqrt{1} + 1) \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 10:30

Kühlkiste

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Zitat:

Original von matcho
zwischenfrage
folgende umformung ergibt keinen sinn, oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + x = x \cdot (\sqrt{1} + 1) \end{eqnarray*}$

So ist es. Und das ist noch sehr vornehm formuliert.

Richtig wäre z.B.: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + x=\sqrt{x}(1+\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 10:44

matcho

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$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} (\sqrt{1 + \frac{\sqrt{n}}{n}-1}} = \frac{1}{ (\sqrt{1 + \frac{\sqrt{n}}{n}-1}} = \infty \end{eqnarray*}$

oder doch 0 Big Laugh

verrücktes ding!

02.02.2010, 10:50

Kühlkiste

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Zitat:

Original von matcho
$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} (\sqrt{1 + \frac{\sqrt{n}}{n}-1}} = \frac{1}{ (\sqrt{1 + \frac{\sqrt{n}}{n}-1}} = \infty \end{eqnarray*}$

Leider falsch!

Bis hier

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}=\frac{(n + \sqrt{n}) - n}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}} = <br /> \end{eqnarray*}$

war noch alles okay.

Weiter geht's mit

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt solltest Du im Nenner mal $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

02.02.2010, 11:12

matcho

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wenn ich nur wüsste, wie sich die doppelte wurzel im nenner beim ausmultiplizieren verhält...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}(\sqrt{1 + ...} +1 \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 11:23

Kühlkiste

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Du hattest es ja eigentlich schon "fast richtig" gemacht.

Wenn Dir nicht klar ist wie Du einen Faktor herausziehen kannst, dann kannst Du stattdessen auch den Kehrwert hereinziehen.

Also mal gaaanz ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}=\frac 1{\frac 1{\sqrt{n}}(\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n})}=\frac 1{\sqrt{\frac 1n(n+\sqrt{n})}+1}=\frac 1{\sqrt{1+\frac 1{\sqrt{n}}}+1} \end{eqnarray*}$

Eigentlich sollte diese Umformerei hier nur Nebensache sein, denn jetzt kommst Du erst zur eigentlichen Aufgabe, die ja darin besteht am vereinfachten Term das Grenzverhalten Deiner Folge zu bestimmen.

02.02.2010, 11:37

matcho

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puh..diese blöden doppelwurzeln machen mich noch ganz irre
also auf die idee mit dem kehrwert wäre ich nicht gekommen. ich kann deiner ausführung bis zu einem punkt, den ich nicht ganz verstehe, folgen...

du holst im vorletzen schritt die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ mit in die wurzel und multiplizierst dann aus...aber wieso ergibt bei dir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\cdot \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 11:40

Kühlkiste

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$\begin{eqnarray*} \frac 1n=\frac 1{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 12:00

matcho

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danke für deine mühe....ist echt nicht einfach

grenzwert sollte nun nen einfaches spielchen sein, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{0.5} } \end{eqnarray*}$ und das ist ne Nullfolge, also bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 12:04

Kühlkiste

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Zitat:

Original von matcho
grenzwert sollte nun nen einfaches spielchen sein, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{0.5} } \end{eqnarray*}$ und das ist ne Nullfolge, also bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Formal könnte man noch anmerken, dass die Stetigkeit der Wurzelfunktion und die Grenzwertsätze diese Schlußfolgerung gestatten.

Der Grenzwert ist jedenfalls richtig.

02.02.2010, 12:22

matcho

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klar könnte man Augenzwinkern

wir haben jetzt die gleichung umgeformt und anschließend sofort den grenzwert berechnet...laut aufgabe sollte allerdings erst auf konvergenz geprüft werden, was allerdings durch den gw bestätigt wird
theoretisch hätten wir aber mittels konvergenzkriterien erst auf konvergenz prüfen müssen und anschließend den gw ermitteln. verwirrt

02.02.2010, 13:27

Kühlkiste

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Zitat:

Original von matcho
theoretisch hätten wir aber mittels konvergenzkriterien erst auf konvergenz prüfen müssen und anschließend den gw ermitteln. verwirrt

Genau das ist aber - sozusagen in einem Schritt - geschehen.

Das Konvergenzkriterium, welches hier zum Zuge kommt sind eben die angesprochenen Grenzwertsätze.

Und das folgt hier (quasi rückwärts) aus der Existenz eines bekannten Grenzwertes:

$\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge.

Wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion gilt dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\frac 1{\sqrt{n}}\right)=0. \end{eqnarray*}$

Mit den Grenzwertsätzen folgt dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1{\sqrt{n}}\right)=1. \end{eqnarray*}$

und so weiter...

Sukzessive Anwendung dieser Argumente liefert schließlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac 1{\sqrt{1+\frac 1{\sqrt{n}}}+1}=\frac 12. \end{eqnarray*}$

Nach den mühsam erarbeiteten Umformungen ist damit dann sowohl die Konvergenz Deiner Folge bewiesen als auch deren Grenzwert ermittelt.

Natürlich schreibt man das nicht immer in solch epischer Breite nieder aber mindestens einmal im Leben sollte man das getan haben.

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