Basis bestimmen

02.02.2010, 11:23

Lisaaaaaaaaaaaa

Basis bestimmen

Also, ich soll zeigen, dass die Menge aller dreireihigen reellen Matrizen a, mit der Eigenschaft

a* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =o

einen Unterraum von von $\begin{eqnarray*} M_{3} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ³)bildet und eine Basis bestimmen.

Dass es ein Unterraum ist habe ich schon gezeigt, mein Problem ist die Basis.
Soweit ich weiß ist eine Basis B eine Teilmenge eines (endlich erzeugten reellen) Vektorraumes, wenn 1.) B ein Ezeugendensystem von V ist und 2.) B linear unabhängig ist.

Irgendwie kann ich das jedoch nicht auf diese Aufgabe übertragen. Ich habe auch schon mal gezeigt, dass drei Vektoren eine Basis bilden, aber was muss ich denn hier machen??

Vielleicht irgendwelche Linearkombinationen zeigen??

Ich bin überfordert! =(

02.02.2010, 14:58

tigerbine

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Ein paar Tipps.
Nennen wir den Vektor mal v:=(1,1,1)^T. Es soll dann gelten Av=0, d.h. v ist im Kern der Matrizen A enthalten.

Welche Dimension hat den der Matrizenvektorraum?

Welche Dimension hat der Matrizen-UVR? Wie viele Basisvektoren musst du also finden?

Suche möglichst einfache Matrizen mit der Eigenschaft Av=0.

02.02.2010, 16:09

Lisaaaaaaaaaaaa

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RE: Ein paar Tipps.
Hmpf... Sowas mit Kern und Dimension hatten wir noch nicht...

Es kann auch sein, dass der Prof einfach nicht den ganzen Stoff in der Stunde geschafft hat und einige Aufgaben aber genau das brauchen. So war das nämlich auch schon bei einer anderen Aufgabe.

02.02.2010, 16:12

Lisaaaaaaaaaaaa

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RE: Ein paar Tipps.
Also irgendwie weiß ich immernoch nicht weiter was ich machen soll...

02.02.2010, 16:38

tigerbine

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RE: Ein paar Tipps.
Nenn doch mal ein paar Matrizen, mit der gesuchten Eigenschaft.

02.02.2010, 16:44

Lisaaaaaaaaaaaa

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RE: Ein paar Tipps.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Grunde muss ja die Summe der einzelnen Zeilen 0 ergeben.
Also wenn a= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann muss gelten x+y+z=0, damit die Eigenschaft zutrifft...

02.02.2010, 17:01

WebFritzi

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RE: Ein paar Tipps.

Zitat:

Original von Lisaaaaaaaaaaaa
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug, denn es geht um Matrizen - nicht um Vektoren.

Zitat:

Original von Lisaaaaaaaaaaaa
Im Grunde muss ja die Summe der einzelnen Zeilen 0 ergeben.

Genauso ist es.

02.02.2010, 17:14

tigerbine

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RE: Ein paar Tipps.
Und da sagte ich doch schon, möglichst einfache Matrizen. Also da sollten nur 0 und 1, -1 drin vorkommen und möglichst viele 0.

02.02.2010, 17:41

Lisaaaaaaaaaaaa

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RE: Ein paar Tipps.
Ja aber Vektoren sind doch im Grunde auch Matrizen und es geht doch um dreireihige Matrizen. Meine sind doch dreireihig, nur haben sie nur eine Spalte...

02.02.2010, 17:42

WebFritzi

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... und können deswegen nicht mit einem ebensolchen Vektor multipliziert werden. Schau dir die Matrixmultiplikation noch einmal an.

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