Differenzierbarkeit Betragsfunktion

02.02.2010, 14:26

besen

Differenzierbarkeit Betragsfunktion

Wir haben in der Schule gelernt, dass die Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=|x-2| \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=2 nicht differenzierbar ist, weil es im Grunde eine abschnittsweise definierte Funktion ist.

Ich frage mich jetzt aber, ob diese Funktion nicht die gleiche ist wie z.B. $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt((x-2)^{2}) \end{eqnarray*}$ . Beide Funktionen bilden x ja auf dieselbe Weise ab.

g(x) ist aber im Gegensatz zu f(x) differenzierbar, oder? Also wären die beiden Funktionen wieder unterschiedlich.

Wo ist der Fehler in g(x)?? Darf es so eine Wurzelfunktion überhaupt geben?

02.02.2010, 14:30

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit Betragsfunktion
g(x) ist nicht differenzierbar in x=2. Augenzwinkern

02.02.2010, 15:19

wisili

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RE: Differenzierbarkeit Betragsfunktion
An der Nichtdifferenzierbarkeit von f ist nicht die abschnittsweise Definition schuld.
Und auch nicht das Fehlen einer Ableitungsregel für den Betrag.
Und dass g formal problemlos abgeleitet werden kann, heisst nicht, dass g
differenzierbar wäre (wie klarsoweit unterstreicht).

02.02.2010, 16:46

besen

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Vielen Dank für die Antworten!

Nur nochmal zur Sicherheit: f(x) und g(x) sind tatsächlich äquivalent?

Zu dem mit der abschnittsweisen Definition: Klar, das ist nicht der Grund dafür, dass f(x) für x=2 nicht ableitbar ist, so ham wirs (zum Glück) auch nicht in der Schule gelernt...
Dass g(x) nicht ableitbar ist fange ich auch langsam an zu kapieren, das Lustige ist nur, dass mein Mathelehrer, den ich zuerst gefragt habe, auch davon ausging, dass es differenzierbar ist^^

Gleich noch ne Frage, wo ist da der Fehler:
$\begin{eqnarray*} -5=(-5)^{1}=(-5)^{\frac{2}{2}}=\sqrt((-5)^{2})=\sqrt(25)=5 \end{eqnarray*}$

02.02.2010, 16:57

wisili

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Ja, f und g sind (im Reellen) dieselben Funktionen.
Wo ist der Fehler? Potenzgesetze gelten (ohne Einschränkungen) nur für positive Basen.
Genau in der Mitte der Zeile wird das 5. Potenzgesetz verwendet.

(vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)
farbiger Teil.)

02.02.2010, 17:23

besen

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In diesem Wikipediaartikel steht aber:

$\begin{eqnarray*} a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^{m}} \end{eqnarray*}$ für alle a und nichtnegative ganze Zahlen n und ganze Zahlen m

und vor der Auflistung der Potenzregeln:

Mit „alle a“ ist „alle reellen oder komplexen Zahlen a“ gemeint

02.02.2010, 17:49

wisili

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Dann liegt Wikipedia falsch. Sorry, dass ich den Link genannt habe.
Und danke, dass du mich wieder mal auf die Gefahr hingewiesen hast:
Bei Wikipedia steht manchmal Quatsch.

(Wikipedias Version ist nur haltbar, wenn man Kürzen und Erweitern von
Exponenten «verbieten» würde. International durchgesetzt hat sich das
nicht; man «verbietet» viel lieber die negativen Basen. In einer modernen
«Algebra» gibt es daher z.B. die dritte Wurzel von -8 nicht mehr. Ich weiss,
dass ältere Übungsbücher und sogar moderne Taschenrechner oft dagegen
verstossen.)

02.02.2010, 18:11

Leopold

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Zitat:

Original von wisili
In einer modernen «Algebra» gibt es daher z.B. die dritte Wurzel von -8 nicht mehr. Ich weiss, dass ältere Übungsbücher und sogar moderne Taschenrechner oft dagegen verstossen.

Ich habe mich schon mit vielen Leuten über dieses Thema gestritten. Gerne tue ich das auch mit dir. Augenzwinkern

Was spricht dagegen, dritte Wurzeln aus negativen Zahlen zu definieren? Gar nichts. Die dritte Potenz ist streng monoton wachsend und erreicht alle reellen Zahlen. Also kann man umkehren, und die Umkehrfunktion nennen wir dritte Wurzel. Das ist völlig unproblematisch. Da das Potenzieren mit der Hochzahl 3 mit Multiplikation und Division verträglich ist, gilt das auch für die dritte Wurzel. Auch das ist völlig unproblematisch. Darüberhinaus kann man aber bekannte Potenzgesetze nicht gedankenlos übertragen. Das ist aber kein Problem der dritten Wurzel, sondern ein Problem der rationalen Exponenten. Oder willst du auch die dritte Potenz für negative Basen verbieten?

$\begin{eqnarray*} -8 = (-2)^3 = (-2)^{\frac{6}{2}} = \left( (-2)^6 \right)^{\frac{1}{2}} = 64^{\frac{1}{2}} = 8 \end{eqnarray*}$

Ich glaube, den Kern der Sache hast du genannt: Potenzgesetze mit rationalen Exponenten gelten ohne Einschränkung nur, wenn die Basen positiv sind. Das ist das Problem, nicht die dritte Wurzel!

02.02.2010, 19:01

wisili

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Ich stimme fast allem zu.
Wenn aber das Konzept der Wurzeln noch immer vom Konzept der rationalen Exponenten
getrennt gehütet und gepflegt wird, empfinde ich das als Anachronismus.
Es wird sich früher oder später ganz von selbst erledigen. Beim TI89 gibt es keine
höheren Wurzeln mehr. Dass es ein (erweitertes) Konzept für ganze Exponenten gibt,
passt: Die Potenzgesetze sprengen diesen Rahmen nicht, das Konzept ist «abgeschlossen».

Scherzfrage: Was ist 0^0? Der Trend geht eindeutig dahin, es nicht zu definieren,
um sich im konkreten Fall dann mit einer stetigen Hebung zu behelfen.

02.02.2010, 19:02

Iorek

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Zitat:

Original von wisili

Scherzfrage: Was ist 0^0? Der Trend geht eindeutig dahin, es nicht zu definieren,
um sich im konkreten Fall dann mit einer stetigen Hebung zu behelfen.

02.02.2010, 20:35

wisili

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Mathematica: Indeterminate
TI89: Warning ...
HP: Undefined

02.02.2010, 20:53

Iorek

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Jo, das sind alles schöne Taschenrechner. Du wirst aber Probleme bekommen, wenn du 0^0 einfach undefiniert lässt. $\begin{eqnarray*} \exp: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, x \mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n \end{eqnarray*}$ ist die Reihendarstellung der Exponentialfunktion.

Berechne: $\begin{eqnarray*} \exp 0 = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} 0^n = \frac{1}{\underbrace {0!}_{=1}} 0^0 + \underbrace{\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} 0^n}_{=0 \forall n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ , also haben wir $\begin{eqnarray*} \exp 0 = 0^0 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir das jetzt undefiniert lassen, müssten wir den Definitionsbereich derExponentialfunktion einschränken, diese ist aber nunmal für alle rellen Zahlen definiert und es gilt weiter $\begin{eqnarray*} \exp 0 =1 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ich geb dir aber insofern recht, dass es nicht allgemein geregelt ist, es ist aber für manche Fälle durchaus notwendig sich das zu definieren.

02.02.2010, 22:29

Leopold

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@ wisili

Aber $\begin{eqnarray*} x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht einfach da. Es muß erst definiert werden.
Um gleich einem Einwand vorzubeugen: Natürlich gibt es die Top-down-Methode, wonach man zuerst die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ definiert, zum Beispiel über eine Potenzreihe, ihre wichtigsten Eigenschaften beweist, dann zum Logarithmus $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ kommt und mit

$\begin{eqnarray*} \operatorname{pot}(x,\alpha) = \exp \left( \alpha \ln x \right) \end{eqnarray*}$

die allgemeine Potenz zur Hochzahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ einführt. Das funktioniert allerdings nur für positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{pot}(x,0) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{pot}(x,n+1) = x \cdot \operatorname{pot}(x,n) \end{eqnarray*}$ für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann man das als Erweiterung des üblichen Potenzbegriffs (sinnvoll für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , eventuell $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) auffassen und ist nicht gehindert, $\begin{eqnarray*} \operatorname{pot}(x,\alpha) = x^{\alpha} \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Wie gesagt, das ist die Top-down-Methode. Sie mag für eine schnelle Fundierung der Analysis an der Hochschule geeignet sein, ist aber völlig ahistorisch und didaktisch wertlos, wenn man an Schüler denkt, die zum ersten Mal Potenzen mit gebrochenen Exponenten begegnen.

Wir brauchen also eine Bottom-up-Methode. Was also soll $\begin{eqnarray*} x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ sein? Um das zu definieren, braucht man den Wurzelbegriff als Umkehrung des Potenzbegriffs:

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{2}{3}} = \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 = \sqrt[3]{x^2} \end{eqnarray*}$

Man kann also auf den Wurzelbegriff gar nicht verzichten. (Das ist so ähnlich, als würde jemand sagen, man könne auf die Subtraktion verzichten, da sie ja nichts anderes als eine Addition negativer Zahlen sei. Richtig. Aber die Addition einer negativen Zahl erkläre ich ja gerade mit der Subtraktion, also kann man doch nicht auf die Subtraktion verzichten. Auch hier denke ich an Schüler und nicht an Studenten, denen das Konzept einer (additiven) abelschen Gruppe axiomatisch nahegebracht wird.)

Und was Taschenrechner berechnen können oder auch nicht, kann doch für Mathematiker nicht maßgeblich sein. So rechnen viele Taschenrechner bei 2:3 den Wert 0,666666666 aus, bei 5:3 dagegen 1,666666667. Der tiefere Sinn dahinter hat sich mir bis heute nicht erschlossen. Entweder habe ich das Konzept: abbrechen, oder das Konzept: runden. Was aber hier getan wird, ist einfach nur konzeptlos.

03.02.2010, 10:37

wisili

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Du rennst bei mir zum Teil offene Türen ein.
Der historische Weg ist sicher oft aus lernpsychologischen Gründen didaktisch der bessere,
aber alle Umwege muss man ja dann doch nicht mitgehen.
Ob die Umkehrung des Quadrierens mit einem scheunendach-ähnlichen Schnörkel $\begin{eqnarray*} \sqrt{ } \end{eqnarray*}$
oder einem Bruchstrich im Exponent eingeführt wird, spielt eine untergeordnete Rolle.
Beides sind ja für den Lernenden unbesetzte neue Zeichen. (Uebrigens glaube ich bei der Quadrat-
wurzel auch nicht ans Aussterben, Pythagoras wegen.)
Da Taschenrechner kommerzielle Ware sind, zeigen sie einen Trend an, ob der nun für gut oder ungut
gehalten wird.
Bei 0^0 hat mich Ioreks Einwand verunsichert, gebe ich zu. Mein Gegenargument, die Funktion x -> 0^x
wäre sonst die einzige unstetige elementare Funktion, ist dagegen recht schwach.
Der Ausgangspunkt unserer Diskussion war, dass ich $\begin{eqnarray*} (-5)^\frac{2}{2}=\sqrt{(-5)^{2}} \end{eqnarray*}$ Wikipedia zum Trotz für Quatsch hielt.

03.02.2010, 10:51

DarthVader

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wird hier nicht auch der aspekt der operatorrangfolge missachtet....

Operratorrangfolge

03.02.2010, 10:57

Iorek

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Ich hab gerade mal in meiner Formelsammlung gekramt, wie dort die Wurzelgesetze sind:

$\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R, a,b\geq 0\ \text{und}\ m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann kommen die üblichen Gesetze.

Hier sind also nur positive Basen zugelassen. Bei den Potenzgesetzen, da es hier ja um Wurzeln geschrieben als Potenzen geht, steht dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R, a,b\neq 0\ \text{und}\ m,n \in \mathbb Z \ \text{oder aber}\ a,b \in \mathbb R, a,b>0 \ \text{und}\ m,n \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Bei negativen Basen dürfen also nur ganzzahlige Exponenten verwendet werden, für positive Basen sind auch rationale Zahlen zugelassen (was ja nach den bereits genannten Beispielen Sinn macht).

Was ich mit meinem Beispiel der Exponentialfunktion zeigen wollte (ich hätte auch die Reihendarstellung des Cos nehmen können, dort tritt das gleiche Problem auf), ist einfach nur dass manchmal die Notwendigkeit für die Definition von 0^0 besteht. Soweit ich weiß gibt es auch keine international einheitliche Regelung dafür, für diese Ausnahmefälle macht es aber durchaus Sinn, sich über eine Definition Gedanken zu machen (und letztendlich bleibt einem selten etwas anderes übrig als 0^0=1 zu setzen).

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