Jordan-Nullmenge

02.02.2010, 15:23

kätzilein

Jordan-Nullmenge

Hallo liebes Forum!

Folgendes soll ich zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R^{m} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und der Abschluss von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Häufungspunkte $\begin{eqnarray*} a_{1},...,a_{n} \end{eqnarray*}$ besitzt, dann ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Jordan-Nullmenge.

Nun hab ich eine Definition gefunden, dass wenn die Inhaltsumme kompakter Intervalle, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überdecken insgesamt kleiner als ein Epsilon sind, dann ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Jordan-Nullmenge.

Hab mir das recht handwerklich überlegt, dass ich um jeden der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Häufingspunkte ein kompaktes Intervall mit dem Inhalt $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{n+1} \end{eqnarray*}$ lege und dass die Summe also $\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot \epsilon}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist und damit immer kleiner als Epsilon! Geht das so bzw. wie kann ich begründen, dass es solche Intervalle mit dem besagten Inhalt gibt? Andere Vorschläge?

Danke im Voraus!!

02.02.2010, 16:24

WebFritzi

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RE: Jordan-Nullmenge

Zitat:

Original von kätzilein
Nun hab ich eine Definition gefunden, dass wenn die Inhaltsumme kompakter Intervalle, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überdecken insgesamt kleiner als ein Epsilon sind, dann ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Jordan-Nullmenge.

Das ist im Reellen so. Wir sind hier aber im Mehrdimensionalen (IR^m). Daher solltest du "Intervalle" durch "Quader" ersetzen.

02.02.2010, 16:44

kätzilein

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In jeder Dimension eines Häufungspunktes (Koordinate hier mit a_k bezeichnet) schnapp ich mir ein Intervall $\begin{eqnarray*} \left[a_k-\frac{\sqrt[m]{\frac{\epsilon}{n+1}}}{2},a_k+\frac{\sqrt[m]{\frac{\epsilon}{n+1}}}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , dessen Seitenlänge dann ja $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{\frac{\epsilon}{n+1}} \end{eqnarray*}$ ist und ein Quader-Inhalt von $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{n+1} \end{eqnarray*}$ ergibt. So hatte ich mir das gedacht, also schon als Quader...

02.02.2010, 17:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von kätzilein
So hatte ich mir das gedacht, also schon als Quader...

Haste aber nicht so geschrieben...

Wie dem auch sei. Das Problem ist, dass deine Gesamtumgebung die gesamte Menge nicht überdeckt. Es ist nun wichtig, dass du dir die Eigenschaft von Häufungspunkten zunutze machst.

02.02.2010, 20:48

kätzilein

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Ich weiß: Ein Häufungspunkt a von M hatte die Eigenschaft, dass in jeder Umgebung von a mindestens ein Punkt aus M liegt... Wie kann ich mir das zu Nutze machen?

03.02.2010, 03:24

WebFritzi

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Du hast viel mehr: In jeder Umgebung eines Häufungspunktes einer Menge S liegen unendlich viele Punkte aus S.

03.02.2010, 10:20

kätzilein

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Ratlos
Irgendwie sollte man die Eigenschaft der Häufungspunkte in die Wahl der Überdeckung einfließen lassen, aber wie? Wie sollte meine Überdeckung, denn aussehen? Ich weiss nicht weiter... Denkanstöße erbeten =)

04.02.2010, 16:42

kätzilein

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Neuer Anlauf zum Beweis
Hallo nochmal!

Ich bin davon überzeugt, dass diese Aufgabe nicht so schwer ist für Experten, sondern nur ich etwas nicht verstanden habe! Zu zeigen:

Zitat:

Eine beschränkte Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$ , deren Abschluss endlich viele Häufungspunkte hat, ist eine Jordan-Nullmenge.

In der Vorlesung haben wir uns oft auf diesen Satz berufen:

Zitat:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$ ist eine Nullmenge, wenn es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar viele (offene oder abgeschlossene) Intervalle $\begin{eqnarray*} I_1,... ,I_n \end{eqnarray*}$ gibt, welche $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überdecken - d.h. $\begin{eqnarray*} M\subseteq \bigcup I_k \end{eqnarray*}$ - und für die $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n | I_k | < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz Lehrer

wäre nun, um jeden Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} x^{(k)}=(x^{(k)}_1,... ,x^{(k)}_m) \end{eqnarray*}$ einen Quader

$\begin{eqnarray*} I_k=(x^{(k)}_1-\frac{\epsilon}{n},x^{(k)}_1+\frac{\epsilon}{n})\times \cdots \times (x^{(k)}_m-\frac{\epsilon}{n},x^{(k)}_m+\frac{\epsilon}{n}) \end{eqnarray*}$ vom Volumen $\begin{eqnarray*} | I_k | = \left( \frac{2\epsilon}{n} \right)^m \end{eqnarray*}$ zu legen. Man erhielte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n | I_k | = \left( \frac{2\epsilon}{n} \right)^m \cdot n < C \cdot \epsilon^m \end{eqnarray*}$ ! Und das ist ja nichts anderes als z.B. ein vorgegebens $\begin{eqnarray*} \tilde{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ... Überdecken meine Quader den die Menge? Wie zeige ich das? verwirrt

Danke!!

07.02.2010, 02:27

WebFritzi

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RE: Neuer Anlauf zum Beweis

Zitat:

Original von kätzilein
Überdecken meine Quader denn die Menge?

Im allgemeinen nicht.

08.02.2010, 01:44

gonnabphd

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Überleg dir mal, wieviele Punkte es noch zu überdecken gibt, wenn du bereits alle HFP und diejenigen in deinen Quadern liegenden überdeckt hast. Ist es (eventuell Augenzwinkern

) möglich, dass es nur noch endlich viele sind? (M ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt! Man denke also an Heine-Borel)

08.02.2010, 12:28

WebFritzi

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Ich weiß nicht, was du hier mit Heine-Borel willst. Es hilft einem jedenfalls nicht weiter. Dass außerhalb kätzileins Umgebung nur noch endlich viele Punkte liegen, liegt an der Tatsache, dass sie bereits alle Häufungspunkte überdeckt hat und meinetwegen noch Bolzano-Weierstraß.

EDIT: Ich korrigiere mich. Man kann Heine-Borel sozusagen anstatt Bolzano-Weierstraß verwenden.

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