Differenz zwischen Riemannscher Summe und bestimmtem Integral

16.10.2006, 16:03	brain man	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenz zwischen Riemannscher Summe und bestimmtem Integral Servus ! In meinem Analysis - Buch steht, dass die Differenz zwischen Riemannschen Summen der Form : $\begin{eqnarray} S_{P}= f(x_{1}) \triangle_{x_{1}} + f(x_{2}) * \triangle_{x_{2}} + ... + f(x_{n}) * \triangle_{x_{n}} \end{eqnarray}$ und bestimmten Integralen beliebig klein gemacht werden kann. Nun ist meine Frage ob diese Differenz auch null sein kann (?) , sodass gelten würde : $\begin{eqnarray} S_{P} = \int_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
16.10.2006, 16:14	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Flächeneinteilung kann ja nie den Verlauf der Kurve genau beschreiben, sondern ihm sich nur unendlich annähern. Deswegen ist bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teilungen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} S_n=\int\limits_{a}^{b}~{f(x)~{\dx}} \end{eqnarray}$ Edit: Rechtschreibung.
16.10.2006, 16:25	brain man	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Aber wenn man mal von Kurven absieht und zu einer auf einem Intervall [a,b] definierten konstanten Funktion geht. Kann die oben genannte Bedingung dann zutreffen?
16.10.2006, 16:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich! Für bestimmte Funktionen gilt das für jede Unterteilung und Wahl von Zwischenpunkten, z.B. für konstante Funktionen. Es gibt auch "echte" Kurven, bei denen das bei geeigneter Unterteilung und Wahl der Zwischenpunkte passieren kann. Gruß MSS

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