Nullstelle analytisch: Winkel mit und ohne Sinus in einer Funktion

02.02.2010, 17:56

wover

Nullstelle analytisch: Winkel mit und ohne Sinus in einer Funktion

Hallo zusammen,
ich hab folgendes Problem Hammer

Bekannt:
$\begin{eqnarray*} \sigma_m, \sigma_{bg}, \theta, a, t \text{Randbedingungen:} 0<\frac{a}{t}<1 0<\theta<\pi \end{eqnarray*}$

Unbekannt
$\begin{eqnarray*} \beta\ und\ \alpha,\ wobei\ \alpha=\begin{cases}\theta, & \text{wenn }\theta\leq \pi-\beta\\\pi-\beta, & \text {wenn }\theta >\pi-\beta\end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ganze soll man jetzt aus folgender Gleichung rausziehen:
$\begin{eqnarray*} \pi -2\beta-\frac{a}{t}\alpha-\frac{\sigma_m}{\sigma_{bg}}\left(4sin\left(\beta\right)-2\frac{a}{t}sin\left(\alpha\right)\right)=0 \end{eqnarray*}$

Ansatz:
Fallunterscheidung und Nullstellensuche:

1. Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=\theta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi -2\beta-\frac{a}{t}\theta-\frac{\sigma_m}{\sigma_{bg}}\left(4sin\left(\beta\right)-2\frac{a}{t}sin\left(\theta\right)\right)=0 \end{eqnarray*}$

2.Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=\pi-\beta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi\left(1-\frac{a}{t}\right)-\left(2-\frac{a}{t}\right)\beta-\frac{\sigma_m}{\sigma_{bg}}\left(2-\frac{a}{t}\right)sin\left(\beta\right)=0 \end{eqnarray*}$

Gibt es hier eine Mölichkeit einen der beiden Fälle analytisch zu lösen oder geht es nur numerisch?

Schon mal im Voraus vielen Dank für eventuelle Lösungsvorschläge!

wover

02.02.2010, 18:35

Abakus

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RE: Nullstelle analytisch: Winkel mit und ohne Sinus in einer Funktion

Zitat:

Original von wover
Fallunterscheidung und Nullstellensuche:

1. Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=\theta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi -2\beta-\frac{a}{t}\theta-\frac{\sigma_m}{\sigma_{bg}}\left(4sin\left(\beta\right)-2\frac{a}{t}sin\left(\theta\right)\right)=0 \end{eqnarray*}$

2.Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=\pi-\beta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi\left(1-\frac{a}{t}\right)-\left(2-\frac{a}{t}\right)\beta-\frac{\sigma_m}{\sigma_{bg}}\left(2-\frac{a}{t}\right)sin\left(\beta\right)=0 \end{eqnarray*}$

Gibt es hier eine Mölichkeit einen der beiden Fälle analytisch zu lösen oder geht es nur numerisch

Hallo!

Deine beiden Fälle sehen wegen der vielen Konstanten recht unübersichtlich aus (was es schwierig macht, das genauer zu betrachten). Lässt sich deine Frage so zusammenfassen, ob die nichtlineare Gleichung

$\begin{eqnarray*} A + B \cdot x + C \cdot \sin x = 0 \end{eqnarray*}$

eine analytische Lösung besitzt? (hier sind einfach die Konstanten zusammengefasst, lassen sich daran vielleicht noch Bedingungen knüpfen?)

I.A. denke ich, bleibt dir nur ein numerisches Verfahren, es sei denn, du hast irgendeinen Sonderfall vorliegen.

Grüße Abakus smile

02.02.2010, 18:50

wover

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Problem richtig erkannt... aber leider nicht die erhoffte Antwort smile

Auf jeden Fall Danke für die Antwort
Gruß
wover

02.02.2010, 18:58

Abakus

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RE: Nullstelle analytisch: Winkel mit und ohne Sinus in einer Funktion

Zitat:

Original von Abakus
$\begin{eqnarray*} A + B \cdot x + C \cdot \sin x = 0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung kannst du (nach dem Satz über implizite Funktionen) lokal nach x auflösen, wenn die partielle Ableitung nach x verschieden von Null ist:

$\begin{eqnarray*} B + C \cdot \cos x \ne 0 \end{eqnarray*}$

Das hilft dir allerdings wenig, da es nur ein Existenzsatz ist, der dir nicht sagt, wie du diese Lösung findest. Damit könntest du aber untersuchen, ob es überhaupt Chancen auf eine Lösung gibt.

Grüße Abakus smile

02.02.2010, 20:13

wover

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passt schon muss des sowieso in c implementieren...
hatte nur gehofft dass ich einen analytischen Weg finde, um eine Beweiskette aufzubauen.

jetzt brauch ich halt ein paar flops mehr smile

Gruß
wover

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