Qualitätsprüfung via Urnenmodell

02.02.2010, 23:00

zbuxx

Qualitätsprüfung via Urnenmodell

Hallo,

ich versage gerade an einer Aufgabe und die Lösung hilft mir auch nicht wirklich weiter, um ehrlich zu sein. Vorab: die Aufgabe stammt aus dem Buch "AHR 2010 - Prüfungsaufgaben mit Lösungen - Zentralabitur am Berufskolleg in NRW.

Also, die Aufgabe sieht folgendermaßen aus: ein Unternehmen produziert Schlösser. Es liefert insgesamt 500 Schlösser aus.

Es ist bekannt, dass nur 85% der Schlösser einwandfrei sind, die restlichen 15% weisen Produktionsfehler auf. Nun werden 25 Schlösser aus der Lieferung zufällig herausgenommen und überprüft.

Nun soll man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass maximal 2 Schlösser defekt sind:
a) nach dem Urnenmodell ohne Zurücklegen
b) nach dem Urnenmodell mit Zurücklegen

So, nun zu meinem Problem: in der Lösung steht, dass a) keine Bernoulli-Kette ist aber b) schon?! Warum das?

Ich ziehe doch 25 Schlösser und will < 3 Treffer bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von 0,15 haben, oder?

Somit errechne ich doch a) laut Formelsammlung mit der folgenden Formel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * p^k * q^{n-k} \end{eqnarray*}$

...also errechne ich, da ich keine kumulierte Binomialverteilung zur Hand habe, folgendes aus: P(k < 3) = P(k = 0) + P(k = 1) + P(k = 2)
$\begin{eqnarray*} P(k=0)=\begin{pmatrix} 25 \\ 0 \end{pmatrix} * 0,15^0 * 0,85^{25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(k=1)=\begin{pmatrix} 25 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,15^1 * 0,85^{24} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(k=2)=\begin{pmatrix} 25 \\ 2 \end{pmatrix} * 0,15^2 * 0,85^{23} \end{eqnarray*}$

... wenn man das ausrechnet und addiert kommt man auf eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P(k < 3) = 0,2537 \end{eqnarray*}$ , was auch nach der Lösung stimmt - allerdings für Aufgabe b) und nicht für Aufgabe a). Wenn aber laut meiner Formelsammlung die Formel für eine Ziehung ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombinationen) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, welche verwende ich dann sonst für Aufgabe a)? verwirrt

LG und vielen Dank im voraus,
Philipp

// EDIT: Die Ergebisse sind laut Lösung für:
a) 0,247
b) 0,254

03.02.2010, 00:03

Intercept0r

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Das ist richtig, was passiert mit der Wahrscheinlichkeit beim Zurücklegen und beim nicht Zurücklegen?

03.02.2010, 00:33

zbuxx

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Hm, also kann ich annehmen, dass die Lösung im Buch falsch ist? Big Laugh

03.02.2010, 12:42

Intercept0r

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Zitat:

Original von zbuxx
Hm, also kann ich annehmen, dass die Lösung im Buch falsch ist? Big Laugh

Überlege mal, was passiert mit der Wahrscheinlichkeit?
Du hast 500 Kugeln darin sind 25 schwarze und 475 weiße kugeln.
Wenn wir nun ohne zurücklegen ziehen, wird die W'keit, dass wir eine schwarze Kugel ziehen für jeden Zug größer.
Infolge dessen bleibt bei einer Zurücklegung der Kugel die W'keit um eine schwarze Kugel zu ziehen gleich.
Daher ist dein berechneter Aufgabenteil für a) falsch und für b) richtig, denn bei b verändert sich die W'keit nicht sondern nur bei a).

03.02.2010, 14:53

zbuxx

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Wieso denn auf einmal 25 weiße und 475 schwarze?!

Ich ziehe doch 25 Kugeln. Das heißt doch nicht, dass z.B. 25 fehlerhafte und 475 fehlerfreie Schlösser vorhanden sind?!

So wie ich das verstanden habe ziehe ich doch bei Aufgabe a) 25 Kugeln ohne zurücklegen... davon sollen dann höchstens 2 defekt sein (k < 3: 0, 1, 2).

Ich verstehe gerade ehrlich gesagt nicht so ganz, was du meinst. Kannst du mir das vlt. nochmal anders erklären?

Schonmal vielen Dank für deine Hilfe!

LG

03.02.2010, 15:56

Intercept0r

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das mit den 25 Kugeln war ein Beispiel.
Also versetze dich in die Situation des Unternehmens. Du hast den Auftrag bekommen, 25 Schlösser von den 500 zu untersuchen.
Es ist bekannt, dass nur 85% der Schlösser einwandfrei sind, die restlichen 15% weisen Produktionsfehler auf
Bedeutet nichts anderes als: 425 einwandfrei und 75 defekt.

1. Fall ohne zurücklegen:
$\begin{eqnarray*} P(0) = \frac{425}{500}\cdot \frac{424}{499} \cdot ... \cdot\frac{400}{475} \end{eqnarray*}$

1. Fall mit zurücklegen:
$\begin{eqnarray*} P(0) = (\frac{425}{500})^{25} \end{eqnarray*}$

also was fällt dir auf? Wie verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten zueinander?

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