Limes anwenden für cos sowie teiler 0????

02.02.2010, 23:38

ai0501

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Limes anwenden für cos sowie teiler 0????

Habe folgende aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{x^{2}-2x+5}{cos(x)})*(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}) \end{eqnarray*}$

das ergebnis soll sien : [latex]\frac{5}{2}

für x setze ich null, bekomme im ersten term [latex]\frac{5}{1} raus...
im zweiten darf ich ja die null nciht einsetzen?!?!

wie komme ich im zweoten auf das ergebnis von [latex]\frac{1}{2}

02.02.2010, 23:41

Iorek

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L'hospital ist dein Freund bei diesem Bruch smile

smile

03.02.2010, 10:27

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Iorek
L'hospital ist dein Freund bei diesem Bruch smile

smile

Möglicherweise aber ein falscher Freund. Es sei denn Du selbst bist ein Freund des Ableitens.

Wie so oft geht's aber auch ganz gut ohne L'Hospital, denn:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+1}-1}x=\frac 1{\sqrt{x+1}+1}. \end{eqnarray*}$

03.02.2010, 10:37

Iorek

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Also das Ableiten davon sollte ja nun nicht das Problem sein, aber gut, das ist wohl für jeden anders, deine Umformung tuts ja auch smile

smile

03.02.2010, 12:50

ai0501

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+1}-1}x=\frac 1{\sqrt{x+1}+1}. \end{eqnarray*}$

wie kommst ud den darauf?

wie funktioniert genau diese umformung??

mit der ableitung bin ich soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{0^{2}-2*0+5 }{1}=\frac{5}{1} \end{eqnarray*}$

dann ableiten vom zweiten term:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^{\frac{1}{2} }-0 }{1} \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich daraus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2010, 12:54

Iorek

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Umformung geht über die dritte bin. Formel.

Aber was hast du mit der Ableitung gemacht? Du musst die doch erstmal bilden bevor du anfängst den Grenzwert zu berechnen.

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03.02.2010, 12:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von ai0501
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+1}-1}x=\frac 1{\sqrt{x+1}+1}. \end{eqnarray*}$

wie kommst ud den darauf?

Aus a² - b² = (a-b) * (a+b) folgt $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a^2-b^2} = \frac{1}{a+b} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von ai0501
dann ableiten vom zweiten term:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^{\frac{1}{2} }-0 }{1} \end{eqnarray*}$

Und die Wurzel braucht man nicht ableiten? Man merkt schon: mit l'Hospital ist keine gute Idee.

03.02.2010, 13:04

Iorek

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Ich find L'hospital immer noch sehr angenehm, aber vllt. ist das auch nur ein Tick von mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2010, 13:19

klarsoweit

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RE: Limes anwenden für cos sowie teiler 0????
l'Hospital hat sicherlich seine Stärken, aber wir sind hier im Bereich Schulmathe und da gehört sowas eher nicht zum Repertoire.

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert eines Differenzenquotienten. Da kann man sich auch anders behelfen.

03.02.2010, 13:26

Iorek

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Also wir hatten l'Hospital durchaus schon in der Schule, oder nicht? verwirrt

verwirrt

03.02.2010, 13:33

klarsoweit

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Ich jedenfalls nicht. Aber das muß ja nicht heißen, daß es heute anders ist.

03.02.2010, 13:37

Iorek

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Also ich bin mir ziemlich sicher dass wir den hatten, aber du hast Recht, das muss nicht heißen, dass der Fragesteller ihn auch hat. Deine Umformung liefert ja aber einen alternativen Weg, der auch zum Ziel führt smile

smile

03.02.2010, 13:43

ai0501

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Zitat:

Aus a² - b² = (a-b) * (a+b) folgt $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a^2-b^2} = \frac{1}{a+b} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

was ist das a und was ist das b im bezug zum term? und wieso ist dann unter dem bruchstrich a^2-b^2

03.02.2010, 13:46

Mulder

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Zitat:

Original von Iorek
Also ich bin mir ziemlich sicher dass wir den hatten [...]

Ich hatte ihn jedenfalls definitiv. Aber vielleicht ist das ja auch nur auf den Leistungskurs beschränkt. Aber man gewinnt auch hier im Schulbereich eigentlich schon den Eindruck, dass viele Schüler L'Hospital kennen.

03.02.2010, 13:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von ai0501
was ist das a und was ist das b im bezug zum term?

Vergleiche mal a - b mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}-1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ai0501
und wieso ist dann unter dem bruchstrich a^2-b^2

Weil ich es dahin geschrieben habe. Ist ja nicht verboten, oder?

03.02.2010, 13:55

ai0501

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dann habe ich a: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ und b: -1

gut.

was ist dan unter dem bruchstrcih das a und b ?

habe da x stehen und ncihts weiter

03.02.2010, 14:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von ai0501
was ist dan unter dem bruchstrcih das a und b ?

Natürlich dasselbe. Und jetzt rechne mal, was mit deiner Wahl von a und b das a² - b² ist.

03.02.2010, 14:36

ai0501

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+1}-1 }{x+2} \end{eqnarray*}$

das kommt dan raus...

jezt müsste cih die wurzel wegbekommen. einer ne idee?

wenn ich jetzt null einsetze komme ich ja im zaäjle auf null, da stimt ja was nicht

03.02.2010, 14:42

klarsoweit

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Ich habe übesehen, daß du b = -1 gewählt hast. Es ist natürlich b = 1 zu wählen. Und jetzt rechne mal $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1})^2 - 1^2 \end{eqnarray*}$ aus.

EDIT: im übrigen ist aber auch $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1})^2 - (-1)^2 \end{eqnarray*}$ nicht gleich x+2.

03.02.2010, 15:14

ai0501

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$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1})^2 - (-1)^2 \end{eqnarray*}$ nicht gleich x+2.

sondern x oder?

den dann kommt x+1-1=0

Zähler:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1}) \end{eqnarray*}$ =x+1
$\begin{eqnarray*} (\ 1^2 \end{eqnarray*}$ =1

x+1-1=0?
ich muss doch für x null einsetzen oder?
im nenner:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1}^2-1^2) \end{eqnarray*}$ =x+1+1? also 2

03.02.2010, 15:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von ai0501
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+1})^2 - (-1)^2 \end{eqnarray*}$ nicht gleich x+2.

sondern x oder?

Das ist das einzige, was an deinem Beitrag stimmt.

Damit das Elend ein Ende hat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x+1-1} = \frac{\sqrt{x+1}-1}{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{x+1}-1}{(\sqrt{x+1} - 1) \cdot (\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \end{eqnarray*}$

Alternativ kann man auch $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}+1 \end{eqnarray*}$ erweitern. Das dürfte vermutlich für dich einfacher sein.

03.02.2010, 15:49

ai0501

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Danke dir, warst echt große hilfe, habe jetzt erst verstanden

Vielen Dank "klarsoweit"

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