Galoiserweiterung

03.02.2010, 10:58

meli5

Galoiserweiterung

Ich habe eine Frage:

Gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Galoiserweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

Ich dachte zunächst an Adjunktion von primitiven Einheitswurzeln. Aber die zugehörige Galoisgruppe besitzt ja Ordnung $\begin{eqnarray*} |(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}| \end{eqnarray*}$ . So direkt geht es also nicht.

Hat jemand eine bessere Idee?

03.02.2010, 14:19

pseudo-nym

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EDIT: Die angegebene Körpererweiterung ist i.A. nicht normal. Bessere Antwort in Arbeit...

03.02.2010, 22:42

meli5

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Ich habe auf Wikipedia zum "Umkehrproblem der Galoistheorie" gelesen:

Zitat:

... Allerdings ist es ein im Allgemeinen ungelöstes Problem, wie und ob man eine solche Konstruktion für einen festen Grundkörper, etwa Q, auszuführen kann.

Wenn man den Grundkörper nicht vorgibt, und da jede endliche Gruppe als Gaoisgruppe auftritt, kann man in diesem Fall ja zu jedem n eine Galoiserweiterung finden.

Aber mit vorgegebenem Grundkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist das Problem wohl noch nicht gelöst, oder sehe ich das falsch?

04.02.2010, 10:57

Reksilat

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Das gilt aber für beliebige Gruppen und bedeutet nicht unbedingt, dass man zum Beispiel für eine zyklische Gruppe der Ordnung n keine passende Galoiserweiterung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ finden könnte.

Gruß,
Reksilat.

18.02.2010, 19:15

meli5

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Kann man evtl. ein Polynom der Form $\begin{eqnarray*} X^n-p \end{eqnarray*}$ für eine Primzahl p betrachten? Das ist mit dem Eisensteinkriterium irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und der Zerfällungskörper ist eine Erweiterung vom Grad n.

19.02.2010, 10:15

pseudo-nym

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Der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^3-2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{2}, \zeta_3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt[3]{2}, \zeta_3) :\mathbb Q] = 6 \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 10:19

Reksilat

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Der Zerfällungskörper hat leider nicht den Grad n. Das Polynom $\begin{eqnarray*} X^n-p \end{eqnarray*}$ hat mindestens eine und maximal zwei reelle Nullstellen. Der von einer dieser Nullstellen aufgespannte Erweiterungskörper hat somit Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und da das Polynom für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ auch noch komplexe Nullstellen hat, kann das noch nicht der Zerfällungskörper sein.

Idee:
Du suchst ja letztlich ein Polynom. Nimm mal an, dass Dein Polynom eine komplexe Nullstelle hat. Dann ist ja die komplexe Konjugation auf jeden Fall ein Galoisautomorphismus und somit muss 2 den Körpererweiterungsgrad teilen. Für ungerade n darf Dein gesuchtes Polynom somit keine komplexen Nullstellen haben.

Gruß,
Reksilat.

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