Majorantenkriterium

03.02.2010, 15:11

LostSpirit

Majorantenkriterium

Hallo,
ich habe mir jetzt zwei Stunden den Kopf über folgendes Problem zerbrochen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{n\times 2^{n} }\right) \end{eqnarray*}$

Ich möchte dort die Konvergenz bzw. die Divergenz der Reihe anhand des Majorantenkriteriums zeigen. In meinem Skript steht, dass eine passende Majorante diese hier wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{2^{n} }\right) \end{eqnarray*}$

Laut Skript konvergiert diese Reihe und damit auch die von ihr majorisierte Ausgangsreihe.

Mir tun sich nun zwei Fragen eher allgemeiner Natur auf:
1. Wie bestimme ich, ob es sich bei der von mir gefundene Majorante um eine konvergierende handelt? Versuche ich als Majorante eine bereits bekannte konvergierende Reihe zu bilden?

2. Ich könnte als Majorante für die gegebene Aufgabe auch ohne Probleme folgendes nutzen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$
Diese Reihe divergiert aber bekanntermaßen und widerspricht somit der im Skript stehenden Aussage. Habe ich da einen Denkfehler drin?

Ich bin leider (noch) nicht sonderlich gut in Mathe, möchte das aber ändern. Alleine komme ich hier gerade nicht weiter. Wäre für Hilfe sehr dankbar.

03.02.2010, 15:23

Dunkit

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RE: Majorantenkriterium

Zitat:

Original von LostSpirit
1. Wie bestimme ich, ob es sich bei der von mir gefundene Majorante um eine konvergierende handelt? Versuche ich als Majorante eine bereits bekannte konvergierende Reihe zu bilden?

Gute Idee! Freude

Zitat:

2. Ich könnte als Majorante für die gegebene Aufgabe auch ohne Probleme folgendes nutzen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$
Diese Reihe divergiert aber bekanntermaßen und widerspricht somit der im Skript stehenden Aussage. Habe ich da einen Denkfehler drin?

Richtig: Eine divergente Majorante bringt dir nicht viel... Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum _{k=1} ^\infty k \end{eqnarray*}$ wäre ja auch eine Majorante und viele andere auch. Bringt bloß nichts Augenzwinkern

EDIT: Übrigens: Du summierst immer über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , in der Summe steht aber immer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , das ist wohl ein Versehen, oder?!

03.02.2010, 15:25

wisili

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RE: Majorantenkriterium
1.
Ja
2.
Ja, es ist eine Majorante, aber da sie divergiert, nützt sie nichts:
Man kann keinen Schluss bezüglich der ursprünglichen reihe ziehen.

04.02.2010, 16:03

LostSpirit

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@Dunkit und wisili: Vielen Dank für die extrem schnelle und klare Antwort. smile

@Dunkit: Ja, völlig richtig. War ein Schreibfehler. Die ganzen "n" müssen jeweils durch "k" ersetzt werden.

Ich denke mal, ich habe es verstanden. Hab wohl einfach ein wenig zu engstirnig gedacht. Man muss ja aber auch misstrauisch werden, wenn man in Mathe zuviele Freiheiten bekommt. Big Laugh

Zurück zum Ernst:
Das ganze Ziel ist also einfach nur, dass ich eine konvergierende Majorante finde (bei dieser Aufgabe). Finde ich eine, für die gilt, dass der Betrag jedes Gliedes größer als das der majorisierten Reihe ist, so habe ich die Konvergenz gezeigt. Mein Umkehrschluss wäre, dass es mir nicht gelingen würde, eine divergierende Minorante nach den bekannten Regeln zu ermitteln. Ist das korrekt?
Danke nochmal!

04.02.2010, 16:27

wisili

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Ja, so ist es!

05.02.2010, 08:36

LostSpirit

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Wunderbar. :-)
Vielen Dank an euch beide für die schnellen und guten Antworten!
Beste Grüße und ein schönes Wochenende!

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