Integralaufgabe Wassermenge

04.02.2010, 12:54	Jany91	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralaufgabe Wassermenge Guten Tag, brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Eine natürliche Wasserquelle versiegt. Die von einer Quelle freigesetzte Wassermenge geht von 50l pro Minute innerhalb von drei Wochen auf 1l pro Minute zurück. Welche Wassermenge hat die Quelle in dieser Zeit insgesamt ausgeschüttet, wenn man annimmt, dass die Abnahme der Wassermenge mit einer Exponentialfunktion Q(x)=ab^x beschrieben werden kann? a habe ich bereits bestimmt. a=50 b habe ich auch bereits bestimmt. b=0,99987 das Integral soll bestimmt werden in den Grenzen von 0 bis 30240. doch nun kann ich diese Funktion nicht aufleiten. als Tipp gab unser Lehrer uns: b^t = e^(ln(b)t) kann mir jemand bei der Aufleitung helfen? Alles andere ist dann wieder einfach. Danke Jany91
04.02.2010, 12:59	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralaufgabe Wassermenge Ohne jetzt die Textaufgabe an sich durchgelesen zu haben: Die Stammfunktion einer Funktion der Form $\begin{eqnarray} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray}$ mit einer linearen Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist gegeben durch: $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{g'(x)}e^{g(x)} +C \end{eqnarray}$ Leicht einsehbar, wenn das einfach mit Kettenregel erneut ableitest. Aber wohlgemerkt: Damit es so einfach ist, muss g linear sein.
04.02.2010, 13:06	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende die Substitutionsregel $\begin{eqnarray} \int\limits_a^bf(u(x))\cdot u'(x)\,dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du \end{eqnarray}$ an und setze $\begin{eqnarray} u:=\ln b\cdot t \end{eqnarray}$ edit: zu spät
04.02.2010, 13:06	Jany91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralaufgabe Wassermenge ok habe mir das mal angeguckt aber komme trotzdem nicht auf die Stammfunktion. Jedenfalls ist die Stammfunktion auf die ich komme vollkommen falsch. knn mir jemand vielleicht die Stammfunktion mitteilen damit ich den Rest lösen kann? danke
04.02.2010, 13:08	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralaufgabe Wassermenge Das a ist doch nur eine Konstante. Die kann man vor's Integral ziehen.
04.02.2010, 13:13	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralaufgabe Wassermenge In Antwort auf den Edit: Wir sind doch im wesentlichen hier: $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b \! a\cdot b^x \, \dx = a \cdot \int\limits_a^b \! b^x \, \dx = a \cdot \int\limits_a^b \! e^{\ln(b) \cdot x} \, \dx \end{eqnarray}$ Wir sind uns doch einig, dass $\begin{eqnarray} g(x) = \ln(b) \cdot x \end{eqnarray}$ eine lineare Funktion ist. Der Kehrwert der Ableitung von g(x) kommt beim Integrieren als Vorfaktor hinzu, das ist schon alles. Das musst du doch hinbeommen können?
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04.02.2010, 13:29	Jany91	Auf diesen Beitrag antworten »
ok nun habe ich es danke

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