Äquivalenzrelation |
| 04.02.2010, 13:06 | cheffi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenzrelation Beweisen Sie , dass ker f := ((a,b)|a,b Element A und f(a)=f(b))eine Äquivalenzrelation in A ist. Zur Vorbereitung auf die Klausur versuche ich alte Aufgaben zu lösen, leider habe ich keine Lösungen dafür zur Überprüfung da. Äquivalenzrelation bedeutet ja reflexiv, symmetrisch und transitiv. Ich weiß nun nicht, wie ich das genau anwenden muss auf das Beispiel. Das es eine ist, denke ich, ergibt sich aus der Gleichheit von f(a)=f(b). Wie verfahre ich weiter? 2. A=(a,b,c) R=((a,a), (b,b),(c,c), (a,b),(b,c), (a,c)) Äquivalenzrelation oder partielle Ordnungsrelation? Also muss ich beweisen, dass die Relation reflexiv, symmetrisch bzw. antisymmetrisch und transitiv ist. reflexiv ist sie, da für (a,a), (b,b), (c,c) gilt a=a, b=b und c=c antisymmetrisch, da für (a,b) (b,a) fehlt transitiv denke ich auch, aber mit den Beweisen komme ich nicht klar, wie ich das schreiben muss. dann wäre es eine partielle Ordungsrelation? Ich habe in meinen Unterlagen nicht ein Übungsbeispiel gefunden dazu. Wenn ich einmal weiß, wie es geht, kann ich es bei den anderen Aufgaben noch üben. Hoffe auf Hilfe. |
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| 04.02.2010, 14:03 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Äquivalenzrelation 1. Die Gleichheit (bei f(a)=f(b)) innerhalb B ist trivialerweise reflexiv, symmetrisch und transitiv. Die Eigenschaften vererben sich rückwärts auf die eben definierte Relation in A. Betrachte zu jedem Element in B die Urbildmenge in A: Das sind die Aequivalenzklassen. 2. Betrachte alle 3-er-Ketten x-y-z (es gibt 27), die (x,y) und (y,z) in R haben und stelle fest, ob (x,z) in R ist. (3 sind vom Typ x-x-x, 18 sind vom Typ x-x-y oder x-y-x oder y-x-x: alle langweilig. Nur 6 sind vom Typ x-y-z ohne wiederholte Elemente und effektiv zu überprüfen.) |
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| 06.02.2010, 11:15 | cheffi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenzrelation Erst mal schönen Dank für die Antwort. Habe mich heute noch einmal damit beschäftigt, da ich erst eine Facharbeit fertigstellen musste. Die 2. aufgabe habe ich verstanden und auch gelöst. bei der ersten hapert es noch, ich steh auf dem Schlauch, weil ich nicht weiß, wie ich das genau schreiben soll, da ich ja reflexiv, symmetrisch und transitiv nachweisen muss. Mich verwirrt, dieses ker f. Ich weiß, das es kern hießt, aber wie ich das beim Beweis schreiben soll, ist mir nicht klar. Bitte um Hilfe. |
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| 06.02.2010, 11:55 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Äquivalenzrelation Reflexivität: Wegen f(a) = f(a) gilt (a,a) € ker f für alle a € A. Symmetrie: Aus (a,b) € ker f folgt f(a) = f(b), also auch f(b) = f(a), also (b,a) € ker f für alle a € A und b € A. Transitivität: Aus (a,b) € ker f und (b,c) € ker f folgt f(a) = f(b) und f(b) = f(c), also auch f(a) = f(c), also (a,c) € ker f für alle a € A, b € A und c € A. Bemerkung: Vielleicht ist es dir angenehmer, statt mit «(a,b) € ker f» mit einem Relationszeichen zu arbeiten, z.B. so: . |
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| 06.02.2010, 12:04 | cheffi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenzrelation Danke, jetzt ist alles klar, DIe Bemerkung mit dem Realtionszeichen hilft mir unheimlich weiter. |
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