Beweise durch vollst. Induktion

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charly Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise durch vollst. Induktion
Benötige unbedingt einen Beweis für Behauptung:
1+2+3+4+...n=(n(n+1))/2 n=1

Induktion: n=k
1+2+3+4+...k=(k(k+1))/2 n=k+1

Benötige dringend Texterläuterung, da der Sinn mir bisher unplausibel erscheint.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise durch vollst. Induktion
Kannst es doch erstmal selber probieren bzw. deinen Ansatz vorstellen.


Zitat:
Original von charly

Induktion: n=k
1+2+3+4+...k=(k(k+1))/2 n=k+1



Noch ne Frage: Erst schreibst du n=k, dann n=k+1, das geht doch aber nicht, denn dann wäre k=k+1 und somit 0=1!! Da is irgendwo n Haken. verwirrt

edit: Übrigens ist vollständige Induktion, soweit ich weiß, Analysis.
charly Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise durch vollst. Induktion
Natürlich hast Du recht, es ist Analysis.

Induktion: n=k
Induktionsbehauptung: n=k+1 gilt 2

So muss es korrekt lauten.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise durch vollst. Induktion
Naja gut, hast du denn schon eine Idee?? Augenzwinkern
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man mit der Summenformel umgehen kann.


Behauptung

= n(n+1)/2

IA: n = 1


<=> 1 = 1

IV: es existiert ein n für das die Bedingung gilt












qed
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

ups kleiner fehler bei dem Induktionsanfang für n=1 muss das in der klammer 1(1+1)/2 nicht 1(1+2) heissen
 
 
DeEX Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch vollständige Induktion
so...ich habe gerade auch dieselbe aufgabe...
das das mit summenformel zu lösen ist hat mir auch bereits schon ein kumpel gesagt...allerdings wollt ich mal den lösungsweg unserer lehrerin nachvollziehen können...(Ich geh übrigens klasse 10 am gym.)
also mal zu dem was unsere lehrerin so meinte:

Vor: n€N
Beh: 1+2+3+4+...+n = (n(n+1))/2
Bew:

Induktionsanfang: für n=1 gilt

1 = (1(1+1))/2
1 = 1

w.A.

Induktion: n=k gilt

1+2+3+4+...+k=(k(k+1))/2

Induktionsbehauptung: n=k+1 gilt 2

1+2+... + k + (k+1) = ((k+1)(k+2))/2

Induktionsbeweis:

= 1+2+...+k+(k+1)

= (k(k+1))/2)+(k+1) --->>> (das 1+2+...+k = (k(k+1))/2) -> musste ich das nicht erstmal beweisen??)

= ((k(k+1))/2) * ((2k+2)/2)

= ((k*(k+1) + 2k + 2))/2

= ((k*(k+1) + 2(k+1))/2

= ((k+1)(k+2))/2 --->> (k(k+1)) zu (k+1) verstehe ich nicht

q.e.d. -->>> aber warum gilt das als bewiesen und außerdem kann ich den ganzen beweis schon irgendwie nicht nachvollziehen???
!Bitte helft mir!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Sinn des Induktion ist es eine Behauptung für eine natürliche Zahl und ihren nachfolger zu beweisen. Da sich die natürlichen zahlen rekursiv konstruieren lassen,(0,succ(0)) sind beweise über die natürlichen zahlen halt so möglich. (Den genauen beweis warum Induktion funktioniert kann ich ja mal rauskramen :>)

Das prinziep ist klar, man beweist die Aussage für ein speziellen n aus N (bei euch n=k). Dann beweist man die aussage für den nachfogler also n+1. In eurer schriebweise wäre es ja so

1+2+3...+k = (k(k+1)/2)

für 1 ist das ne ware aussage
= Induktionsvorrausetzung

jetzt der Induktionsschritt für k+1

1+2+3+...+k + k+1
= induktionsbehauptung
Jetzt kommt der eigentliche "anspruchsvolle" teil (der hier recht simpel is ^^). Der sinn ist es die Induktionsbehauptung so umzuformen das man die Induktions vorrausetzung benutzten kann.

1+2+3+...+k + k+1 <=> (1+2+3+...+k)+(k+1)

So das was in der ersten klammer steht ist genau die Induktionsvorrausetzung, d.h es existiert ein n aus N für das die Beziehung gilt. Da es gilt dürfen wir es benutzen.
=> nach IV: (K(k+1))/2 + (k+1), die restlichen schritte sind trivial.

So wir haben es also für eine natürliche Zahl und ihren nachfolger bewiesen. Alle natürlichen zahlen lassen sich durch den nachfolger definieren (klar 2 is nachfolger vom nachfolger von 0 usw.), das heißt wenn wir eine aussage über eine natürlcihe Zahl und ihren nachfolger beweisen können, gilt es für alle natürlichen zahlen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis durch vollständige Induktion
Zitat:
Original von DeEX
Induktionsbeweis:

= 1+2+...+k+(k+1)

= (k(k+1))/2)+(k+1) --->>> (das 1+2+...+k = (k(k+1))/2) -> musste ich das nicht erstmal beweisen??)


Ja, du hast natürlich Recht, damit, dass du das erstmal beweisen musst, aber das machst du ja dann sozusagen indirekt. Ich versuchs mal zu erklären:

Du weißt, dass es für 1 gilt (hast du ja herausgefunden durch einsetzen). Und jetzt willst du beweisen, dass es für 2 gilt und auch für alle anderen natürlichen Zahlen. Jede natürlich Zahl lässt sich durch ihren Vorgänger darstellen. Also wenn du eine natürlich Zahl n hast und ihr Vorgänger ist k, dann ist



Wenn du jetzt beweisen willst, dass es für (k + 1) gilt, wenn es für k gilt, dann machst du das einfach so wie oben. Da wird nämlich vorausgesetzt, dass es für k gilt, denn da wird ja die Formel eingesetzt. Irgendwann hast du dann durch Umformen bewiesen, dass es für (k+1) gilt, wenn es für k gilt.
Du weißt, dass es für 1 gilt, also weißt du, dass es für 1+1=2 gilt, somit weißt du, dass es für 2+1=3 gilt, somit weißt du, dass es für 3+1=4 gilt usw. So könntest du alle natürlichen Zahlen durchgehen, wenn du nur genügend Zeit hättest *g*. Also hast du es bewiesen.

Wenn du irgendwas daran nicht verstanden hast, dann frag einfach nach!

Und zu deiner anderen Frage:

Zitat:
Original von DeEX
= ((k(k+1))/2) * ((2k+2)/2)

= ((k*(k+1) + 2k + 2))/2

= ((k*(k+1) + 2(k+1))/2

= ((k+1)(k+2))/2 --->> (k(k+1)) zu (k+1) verstehe ich nicht

q.e.d. -->>> aber warum gilt das als bewiesen und außerdem kann ich den ganzen beweis schon irgendwie nicht nachvollziehen???
!Bitte helft mir!


Warum das dann als bewiesen gilt, habe ich ja schon oben erklärt. Den Schritt den du nicht verstehst, erklär ich dir auch mal schnell:

Du hast dazustehen:



Jetzt klammerst du einfach den Faktor (k+1) aus! Dann bekommst du



Wenn du das nicht gleich siehst, dann sag doch einfach folgendes:



Jetzt sagst du einfach



Das setzt du dann ein



Jetzt klammerst du a aus:



Und jetzt setzt du einfach für a wieder (k+1) ein, denn wir haben ja gesagt, dass



Und dann hast du




Wie gesagt, wenn du Fragen hast, stell sie!!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Weiteres Bsp. zur vollst. Induktion:

Addieren Sie alle k ungeraden Zahlen! Was fällt auf?

für


für


für


für



Behauptung:


IA:

für


für


für


TRIFFT AUF ALLE k von 1 bis 3 ZU!

IND.ERSCHLUSS: Die Behauptunk gilt für ein ,
zu zeigen: dann glit sie auch für .

zz: ...

IND.SCHLUSS:

mit ...

,


qed

Die Induktionsbehauptung (Behauptung gilt für ) stimmt für alle .

Ist vielleicht nicht die eleganteste Methode, aber ich bin selber noch Induktions-n00b :rolleyes:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SadButTrue

IND.SCHLUSS:

mit ...

,
qed

Die Induktionsbehauptung (Behauptung gilt für ) stimmit für alle .


Wo hast du jetzt bewiesen, dass es für (k+1) gilt??
Du müsstest schon noch zeigen, dass



auch wenn das schnell mit binomischer Formel geht, aber du bist bei deiner letzten Gleichung noch nicht fertig!!
Übrigens finde ich deinen Beweis ziemlich unübersichtlich und förmlich ziemlich schlampig, aber nagut, das ist jedem selbst überlassen.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann bin ich flexibel für Verbesserungsvorschläge!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

hm dann werd ich auch mal nochn beispiel bringen
folgende behauptung




Alsodie ersten n potenzen von x entpsrechen dem linken term

Induktionsansatz: n = 0







Induktionsvorrausetzung

Es existiert ein n aus N so das die behauptung gilt

Induktionsbehauptung














eliminieren sich gegenseitig



qed
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

hm ich stell mal den beweis von sadbuttrue mal übersichtlich hin Augenzwinkern


Behauptung



Induktionsansatz für n = 1



Induktionsvorrausetzung

Es existiert ein n aus N für das die Behauptung gilt

Induktionsbehauptung







nach binomischer formel gilt



qed
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze: THX. Wir hatten das halt 1:1 in der Schule gemacht. Jetz versteh ICH's auch besser!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
hm dann werd ich auch mal nochn beispiel bringen
folgende behauptung




...



qed


Deine Behauptung ist falsch! Das sieht man schon daran, dass sie und deine letzte Gleichung nich übereinstimmen. Du musst in deiner Behauptung entweder im Nenner oder im Zähler die Summanden vertauschen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

na da hat einer das Induktionsprinziep nicht verstanden Augenzwinkern

DAS IST DIE GESAMT BEHAUPTUNG, vieleicht ist es sinnvol wenn ich das ding nicht "behauptung" sondern Aussage nenne ok?



Diese behauptung wird in 2 Schritten bewiesen, für n = 1 und für n +1

Es gibt bei der Induktion 2 Behauptungen.die eine die zu beweisen ist und DIE INDUKTIONSBEHAUPTUNG, ich vermute das war dein problem weil ich mit 2 Behauptungen rumhantiert habe, korrekter weise hätte ich nach Induktionsbehauptung Induktionsschritt schreiben sollen.

das ist die Induktionsbehauptung, also der Beweis für n + 1!



und siehe da es stimmt überein
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das Induktionsprinzip sehr wohl verstanden! Du hast einen Fehler gemacht!!

Du hast geschrieben



Ich setzte n=0







Und das ist bei mir nicht 1, denn



Also kann diese Formel nicht gelten!! Wie gesagt, du musst im Nenner oder Zähler die Summanden vertauschen, dann bekommst du nämlich anstatt deiner falschen Gleichung



die richtige



oder



!!!!!!!!!!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

achherje jetzt versteh ich was du meinst

ich habs verbessert danke!
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