Beweise durch vollst. Induktion |
11.06.2004, 21:34 | charly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweise durch vollst. Induktion 1+2+3+4+...n=(n(n+1))/2 n=1 Induktion: n=k 1+2+3+4+...k=(k(k+1))/2 n=k+1 Benötige dringend Texterläuterung, da der Sinn mir bisher unplausibel erscheint. |
||||||
11.06.2004, 21:44 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweise durch vollst. Induktion Kannst es doch erstmal selber probieren bzw. deinen Ansatz vorstellen.
Noch ne Frage: Erst schreibst du n=k, dann n=k+1, das geht doch aber nicht, denn dann wäre k=k+1 und somit 0=1!! Da is irgendwo n Haken. edit: Übrigens ist vollständige Induktion, soweit ich weiß, Analysis. |
||||||
11.06.2004, 22:56 | charly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweise durch vollst. Induktion Natürlich hast Du recht, es ist Analysis. Induktion: n=k Induktionsbehauptung: n=k+1 gilt 2 So muss es korrekt lauten. |
||||||
11.06.2004, 23:08 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweise durch vollst. Induktion Naja gut, hast du denn schon eine Idee?? |
||||||
12.06.2004, 16:34 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn man mit der Summenformel umgehen kann. Behauptung = n(n+1)/2 IA: n = 1 <=> 1 = 1 IV: es existiert ein n für das die Bedingung gilt qed |
||||||
12.06.2004, 16:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ups kleiner fehler bei dem Induktionsanfang für n=1 muss das in der klammer 1(1+1)/2 nicht 1(1+2) heissen |
||||||
Anzeige | ||||||
|
||||||
13.06.2004, 12:06 | DeEX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis durch vollständige Induktion so...ich habe gerade auch dieselbe aufgabe... das das mit summenformel zu lösen ist hat mir auch bereits schon ein kumpel gesagt...allerdings wollt ich mal den lösungsweg unserer lehrerin nachvollziehen können...(Ich geh übrigens klasse 10 am gym.) also mal zu dem was unsere lehrerin so meinte: Vor: n€N Beh: 1+2+3+4+...+n = (n(n+1))/2 Bew: Induktionsanfang: für n=1 gilt 1 = (1(1+1))/2 1 = 1 w.A. Induktion: n=k gilt 1+2+3+4+...+k=(k(k+1))/2 Induktionsbehauptung: n=k+1 gilt 2 1+2+... + k + (k+1) = ((k+1)(k+2))/2 Induktionsbeweis: = 1+2+...+k+(k+1) = (k(k+1))/2)+(k+1) --->>> (das 1+2+...+k = (k(k+1))/2) -> musste ich das nicht erstmal beweisen??) = ((k(k+1))/2) * ((2k+2)/2) = ((k*(k+1) + 2k + 2))/2 = ((k*(k+1) + 2(k+1))/2 = ((k+1)(k+2))/2 --->> (k(k+1)) zu (k+1) verstehe ich nicht q.e.d. -->>> aber warum gilt das als bewiesen und außerdem kann ich den ganzen beweis schon irgendwie nicht nachvollziehen??? !Bitte helft mir! |
||||||
13.06.2004, 12:26 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also der Sinn des Induktion ist es eine Behauptung für eine natürliche Zahl und ihren nachfolger zu beweisen. Da sich die natürlichen zahlen rekursiv konstruieren lassen,(0,succ(0)) sind beweise über die natürlichen zahlen halt so möglich. (Den genauen beweis warum Induktion funktioniert kann ich ja mal rauskramen :>) Das prinziep ist klar, man beweist die Aussage für ein speziellen n aus N (bei euch n=k). Dann beweist man die aussage für den nachfogler also n+1. In eurer schriebweise wäre es ja so 1+2+3...+k = (k(k+1)/2) für 1 ist das ne ware aussage = Induktionsvorrausetzung jetzt der Induktionsschritt für k+1 1+2+3+...+k + k+1 = induktionsbehauptung Jetzt kommt der eigentliche "anspruchsvolle" teil (der hier recht simpel is ^^). Der sinn ist es die Induktionsbehauptung so umzuformen das man die Induktions vorrausetzung benutzten kann. 1+2+3+...+k + k+1 <=> (1+2+3+...+k)+(k+1) So das was in der ersten klammer steht ist genau die Induktionsvorrausetzung, d.h es existiert ein n aus N für das die Beziehung gilt. Da es gilt dürfen wir es benutzen. => nach IV: (K(k+1))/2 + (k+1), die restlichen schritte sind trivial. So wir haben es also für eine natürliche Zahl und ihren nachfolger bewiesen. Alle natürlichen zahlen lassen sich durch den nachfolger definieren (klar 2 is nachfolger vom nachfolger von 0 usw.), das heißt wenn wir eine aussage über eine natürlcihe Zahl und ihren nachfolger beweisen können, gilt es für alle natürlichen zahlen. |
||||||
13.06.2004, 12:42 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis durch vollständige Induktion
Ja, du hast natürlich Recht, damit, dass du das erstmal beweisen musst, aber das machst du ja dann sozusagen indirekt. Ich versuchs mal zu erklären: Du weißt, dass es für 1 gilt (hast du ja herausgefunden durch einsetzen). Und jetzt willst du beweisen, dass es für 2 gilt und auch für alle anderen natürlichen Zahlen. Jede natürlich Zahl lässt sich durch ihren Vorgänger darstellen. Also wenn du eine natürlich Zahl n hast und ihr Vorgänger ist k, dann ist Wenn du jetzt beweisen willst, dass es für (k + 1) gilt, wenn es für k gilt, dann machst du das einfach so wie oben. Da wird nämlich vorausgesetzt, dass es für k gilt, denn da wird ja die Formel eingesetzt. Irgendwann hast du dann durch Umformen bewiesen, dass es für (k+1) gilt, wenn es für k gilt. Du weißt, dass es für 1 gilt, also weißt du, dass es für 1+1=2 gilt, somit weißt du, dass es für 2+1=3 gilt, somit weißt du, dass es für 3+1=4 gilt usw. So könntest du alle natürlichen Zahlen durchgehen, wenn du nur genügend Zeit hättest *g*. Also hast du es bewiesen. Wenn du irgendwas daran nicht verstanden hast, dann frag einfach nach! Und zu deiner anderen Frage:
Warum das dann als bewiesen gilt, habe ich ja schon oben erklärt. Den Schritt den du nicht verstehst, erklär ich dir auch mal schnell: Du hast dazustehen: Jetzt klammerst du einfach den Faktor (k+1) aus! Dann bekommst du Wenn du das nicht gleich siehst, dann sag doch einfach folgendes: Jetzt sagst du einfach Das setzt du dann ein Jetzt klammerst du a aus: Und jetzt setzt du einfach für a wieder (k+1) ein, denn wir haben ja gesagt, dass Und dann hast du Wie gesagt, wenn du Fragen hast, stell sie!! |
||||||
13.06.2004, 13:14 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weiteres Bsp. zur vollst. Induktion: Addieren Sie alle k ungeraden Zahlen! Was fällt auf? für für für für Behauptung: IA: für für für TRIFFT AUF ALLE k von 1 bis 3 ZU! IND.ERSCHLUSS: Die Behauptunk gilt für ein , zu zeigen: dann glit sie auch für . zz: ... IND.SCHLUSS: mit ... , qed Die Induktionsbehauptung (Behauptung gilt für ) stimmt für alle . Ist vielleicht nicht die eleganteste Methode, aber ich bin selber noch Induktions-n00b :rolleyes: |
||||||
13.06.2004, 13:31 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo hast du jetzt bewiesen, dass es für (k+1) gilt?? Du müsstest schon noch zeigen, dass auch wenn das schnell mit binomischer Formel geht, aber du bist bei deiner letzten Gleichung noch nicht fertig!! Übrigens finde ich deinen Beweis ziemlich unübersichtlich und förmlich ziemlich schlampig, aber nagut, das ist jedem selbst überlassen. |
||||||
13.06.2004, 13:53 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, dann bin ich flexibel für Verbesserungsvorschläge! |
||||||
13.06.2004, 13:59 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm dann werd ich auch mal nochn beispiel bringen folgende behauptung Alsodie ersten n potenzen von x entpsrechen dem linken term Induktionsansatz: n = 0 Induktionsvorrausetzung Es existiert ein n aus N so das die behauptung gilt Induktionsbehauptung eliminieren sich gegenseitig qed |
||||||
13.06.2004, 14:13 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm ich stell mal den beweis von sadbuttrue mal übersichtlich hin Behauptung Induktionsansatz für n = 1 Induktionsvorrausetzung Es existiert ein n aus N für das die Behauptung gilt Induktionsbehauptung nach binomischer formel gilt qed |
||||||
13.06.2004, 14:19 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Mazze: THX. Wir hatten das halt 1:1 in der Schule gemacht. Jetz versteh ICH's auch besser! |
||||||
13.06.2004, 14:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Behauptung ist falsch! Das sieht man schon daran, dass sie und deine letzte Gleichung nich übereinstimmen. Du musst in deiner Behauptung entweder im Nenner oder im Zähler die Summanden vertauschen. |
||||||
13.06.2004, 14:56 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
na da hat einer das Induktionsprinziep nicht verstanden DAS IST DIE GESAMT BEHAUPTUNG, vieleicht ist es sinnvol wenn ich das ding nicht "behauptung" sondern Aussage nenne ok? Diese behauptung wird in 2 Schritten bewiesen, für n = 1 und für n +1 Es gibt bei der Induktion 2 Behauptungen.die eine die zu beweisen ist und DIE INDUKTIONSBEHAUPTUNG, ich vermute das war dein problem weil ich mit 2 Behauptungen rumhantiert habe, korrekter weise hätte ich nach Induktionsbehauptung Induktionsschritt schreiben sollen. das ist die Induktionsbehauptung, also der Beweis für n + 1! und siehe da es stimmt überein |
||||||
13.06.2004, 15:15 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab das Induktionsprinzip sehr wohl verstanden! Du hast einen Fehler gemacht!! Du hast geschrieben Ich setzte n=0 Und das ist bei mir nicht 1, denn Also kann diese Formel nicht gelten!! Wie gesagt, du musst im Nenner oder Zähler die Summanden vertauschen, dann bekommst du nämlich anstatt deiner falschen Gleichung die richtige oder !!!!!!!!!! |
||||||
13.06.2004, 15:22 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achherje jetzt versteh ich was du meinst ich habs verbessert danke! |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
Die Neuesten » |
|