Erwartungswert

04.02.2010, 14:22	karo8	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Ich habe mir gerade Erwartungswerte, etc. angesehen, weil ich das alles ziemlich unklar war. Jetzt wollte ich gerne einmal nachfragen, ob ich es nun richtig verstanden habe: Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable ist auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray}$ , welche P-integrierbar ist. Dann ist der Erwartungswert definiert als: $\begin{eqnarray} E(f) = \int_{\Omega} f dP \end{eqnarray}$ Eine Zufallsvariable ist (bei uns zumindest) ja schon eine messbare Abbildung $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A}) \to (\mathbb{R},\mathbb{B}) \end{eqnarray}$ . D.h. wenn ich mit $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ die Identität bezeichne, kann ich den Transformationssatz für Integrale anwenden und erhalte: $\begin{eqnarray} E(f) = \int_{\Omega} f dP = \int_{\Omega} (f' \circ f) dP \overset{\text{Transf.satz}}{=} \int_{\mathbb{R}} f' d(P \star f) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} P \star f \end{eqnarray}$ eine Verteilung (bzw. das induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß) ist, also $\begin{eqnarray} (P \star f)(A) = P(f^{-1})(A) \end{eqnarray}$ . Und wenn $\begin{eqnarray} P \star f \end{eqnarray}$ nun eine Dichte $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ besitzt, dann gilt $\begin{eqnarray} E(f) = \int_{\mathbb{R}} f'd(P \star f) = \int_{\mathbb{R}} x\varphi(x)dx \end{eqnarray}$ Mein Problem war immer, dass ich das letzte Integral nicht verstanden habe (bzw. wie man darauf kommt). Ist mein Weg soweit richtig?
04.02.2010, 16:17	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wo genau ist denn jetzt dein Problem bzw was verstehst du nicht? Gehts ums letzte Gleichheitszeichen? Schreib statt dem $\begin{eqnarray} d(x) \end{eqnarray}$ lieber mal das Lebesguemaß, also $\begin{eqnarray} d\lambda(x) \end{eqnarray}$ . Wenn dein induziertes Maß bzgl. dem Lebesguemaß absolut stetig ist, dann besitzt es eine Radon-Nikodym-Ableitung bzgl $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , das ist dein $\begin{eqnarray} \varphi(x) \end{eqnarray}$ . Und das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist genau $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} f'(x)=x \end{eqnarray}$ . Sonst, denke ich, passt alles. Prinzipiell kannst eine ZV als eine Abbildung in einen allgemeinen Messraum ansehen, aber das ist nicht so wichtig. Und die Notation mit dem $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als ZV finde ich auch seltsam, aber okay, ist bloß Notation.

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