Brechnung des Konvergenzradius

04.02.2010, 19:39	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Brechnung des Konvergenzradius Hallo, ich soll den Konvergenzradius folgender Reihen erechnen: (1) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k!}{2+i^k} z^k \end{eqnarray}$ Mit Hilfe bin soweit gekommen: $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty b} \| \frac{2+i^{k+1} }{(k+1)(2+i^{k}) } \| \end{eqnarray}$ Wie kürze ich nun? Oder was gibt es für eine Möglichkeit den Bruch zu vereinfachen? (2) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{2^{k}+1} z^{k^{2} } \end{eqnarray}$ Soll ich hier $\begin{eqnarray} z^{k} \end{eqnarray}$ substituieren um auf die gewönliche Darstellung der Potenzreihe zu kommen? Ich wäre sehr dankbar um hilfreiche Tipps und Anregungen. smile
04.02.2010, 20:25	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brechnung des Konvergenzradius Es gibt auch noch eine andere Möglichkeit den Konvergenzradius dieser Potenzreihen zu bestimmen, der hier mglw. einfacher ist. Aus dem Quotientenkriterium folgt die Grenzwertbetrachtung, die du für (1) schon angestellt hast. Nun gibt es aber ebenfalls eine Konvergenzradiusabschätzung die aus dem Wurzelkriterium folgt (die sog. Cauchy-Hadamard'sche Formel). Es gilt Konvergenzradius $\begin{eqnarray} R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\|a_k\|}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_k=\|\frac{k!}{2+i^k}\| \end{eqnarray}$ . Versuchs mal damit, also ich komme für dein (1) auf einen Konvergenzradius von 0, d.h. die Reihe konvergiert nur für x=0.
04.02.2010, 20:29	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brechnung des Konvergenzradius mir ist gerade noch aufgefallen, dass deine Quotientendarstellung, das Ergebnis bereits gut zeigt. Ziehe die Betragsstriche doch mal auf die einzelnen Faktoren in Zähler und Nenner und suche nach einer geeigneten Abschätzung für diese Beträge. Was ist beschränkt und was nicht.?.
04.02.2010, 20:48	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brechnung des Konvergenzradius Bei der (2) kannst du nicht einfach $\begin{eqnarray} z^k \end{eqnarray}$ substituieren, denn dann hättest du irgendwas mit nem Quadrat und das wär keine Potenzreihe mehr. Du könntest allerdings $\begin{eqnarray} k^2 \end{eqnarray}$ substituieren und somit die Reihe in eine Form einer Potenzreihe bringen. Dann wendest du wieder das Kriterium an, bei der du dir den Betrag der Quotienten aufeinanderfolgender Glieder für große Indizes anschaust und solltest auf einen recht häufig vorkommenden Konvergenzradius kommen. Probiers erstmal so. Kleiner Tipp, ich habe $\begin{eqnarray} k^2 \end{eqnarray}$ durch einen Indize $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ersetzt und die anderen k's dementsprechend umgewandelt.

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