fibonacci-folge

04.02.2010, 19:59	kolto	Auf diesen Beitrag antworten »
fibonacci-folge zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} \frac{a_{2n+1} }{a_{2n} } \end{eqnarray}$ monoton fallend ist und $\begin{eqnarray} \frac{a_{2n+2} }{a_{2n+1} } \end{eqnarray}$ monoton wachsend. da muss ich mich wieder absolut geschlagen geben, ich habs jetzt wirklich ewig versucht.
04.02.2010, 20:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die expllizite Darstellung der Fibonacci-folge, auch Formel von Binet genannt?
04.02.2010, 20:11	kolto	Auf diesen Beitrag antworten »
ja,aber ich bin sicher, die darf man nicht benutzen^^ edit: wenn die lösung dann komplizierter wird mit potenzreihe, vergesst es. das muss ich nicht könne, aber ich denke das muss auch so gehen. is halt ne rekursive folge
04.02.2010, 20:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es geht auch anders, z.B. unter Nutzung solcher Eigenschaften wie $\begin{eqnarray} a_{k+1}a_{k+2} - a_{k}a_{k+3} = (-1)^k \end{eqnarray}$ . Zur Not weist man diese eben selbst per Induktion nach.
05.02.2010, 10:27	kolto	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ne, das wird zu kompliziert. aber montag is die klausur. aber danke
05.02.2010, 11:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompliziert ist es, weil du dir einredest, dass es kompliziert ist. Induktionsanfang $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_1a_2-a_0a_3 = 1\cdot 1 - 0\cdot 2 = 1 = (-1)^0 \end{eqnarray}$ , hat geklappt. Induktionsschritt $\begin{eqnarray} k\to k+1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_{k+2}a_{k+3} - a_{k+1}a_{k+4} \stackrel{FR}{=} (a_{k}+a_{k+1})a_{k+3} - a_{k+1}(a_{k+2}+a_{k+3}) = -(a_{k+1}a_{k+2}-a_{k}a_{k+3}) \stackrel{IV}{=} -(-1)^k = (-1)^{k+1} \end{eqnarray}$ , dabei steht FR für Fibonacci-Rekursion und IV für Induktionsvoraussetzung. -------------- Schließlich hat man dann also $\begin{eqnarray} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} - \frac{a_{k+3}}{a_{k+2}} = \frac{a_{k+1}a_{k+2}-a_{k}a_{k+3}}{a_{k}a_{k+2}} = \frac{(-1)^k}{a_{k}a_{k+2}} \end{eqnarray}$ , wie wird das wohl bei der Aufgabe helfen können?
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