ist jede cantormenge eine nullmenge?

04.02.2010, 21:13

ist jede cantormenge eine nullmenge?

Hi
mir wurde erzählt, dass nicht jede Cantormenge eine Nullmenge ist. Was dazu führt, dass K Teilmenge des R^n kompakt =/=> Rand von K Nullmenge.
(Gegenbeispiel wäre eine Cantormenge die nicht Nullmenge ist,falls es eine gibt, denn Cantormenge ist ja beschränkt und abgeschlossen.)

Definition: Eine Cantormenge ,C Teilmenge [0,1],ist eine nichtleere, total unzusammenhängende, abgeschlossene perfekte Menge.

Definition: X heißt perfekt wenn für alle x aus X, ist x aus dem Abschluss von(X ohne x)

angebeblich kann man eine Cantormenge so konstruieren, dass sie ein Maß hat.

lG

04.02.2010, 21:22

Airblader

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http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge

Zitat:

Unter der Cantor-Menge versteht man [...] eine Menge mit besonderen Eigenschaften. Sie ist: [...] eine Lebesgue-Nullmenge [..]

air

05.02.2010, 20:59

dicky

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RE: ist jede cantormenge eine nullmenge?
Hi,
Wikipedia enthält, wie wir wissen, öfters Fehler.
denn:

Eine Cantormenge kann durchaus Maß besitzen, aber niemals volles Maß.

$\begin{eqnarray*} <br /> C\subset [0,1]<br /> \end{eqnarray*}$

Nun wird bei der "Standard-Cantormenge" immer das mittleres Drittel rausgenommen.

D.h. l $\begin{eqnarray*} A_{k+1} \end{eqnarray*}$ l=2/3 * l $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ l was folgern würde, dass C eine Nullmenge ist. Aber anstatt 1/3 nehme ich weniger raus als ich muss, was heißen soll.

l $\begin{eqnarray*} A_{k+1} \end{eqnarray*}$ l= $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ * l $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ l
mit (Produkt von k=1 bis unendlich) $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ >0
und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty log(a_{k})>-\infty \end{eqnarray*}$

mit dieser Konstruktion kriegst du eine Cantormenge mit Maß hin, sogar fast beliebig, nur nicht volles Maß.

LG

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