Herleitung der Torricelli-Auslaufzeit

04.02.2010, 22:15	Milkaschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Torricelli-Auslaufzeit Hallo, es geht mir um die Herleitung der Torricelli-Auslaufzeit. Folgendes habe ich nach der Integration raus (wie ich dahin gekommen bin, ist für meine Frage nicht relevant): $\begin{eqnarray} \frac{A(unten)\sqrt{2g}t}{A(oben)}= \sqrt{2h(unten)}-\sqrt{2h(oben)} \end{eqnarray}$ A bzw h(oben): Fläche/Querschnitt bzw. Höhe der Flüssigkeit vor dem Auslaufen A bzw. h(unten): Querschnitt bzw. Höhe des Auslaufrohres. Mein Problem ist jetzt die Umformung nach t. Meiner Ansicht nach, kann man auf der rechten Seite die $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ausklammern. Dann teilt man beide Seiten durch $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und sie fällt weg. Laut einem Buch bleibt aber eine $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ im Zähler stehen, wenn ich nach t auflöse. Was mache ich falsch :-(?
04.02.2010, 22:47	Lue	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung der Torricelli-Auslaufzeit Hallo, der Fehler muss mE nach vorher liegen... wenn du die von dir beschrieben Gleichung umformst, fällt die Wurzel aus 2 wirklich weg. Leitest du sie aus der Bernoulli-Gleichung ab?
04.02.2010, 23:20	Milkaschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung der Torricelli-Auslaufzeit Also wir haben die Volumenströme oben und unten gleichgesetzt... Für oben: $\begin{eqnarray} \frac{V}{t} = -A(oben) \frac{dh}{dt} \end{eqnarray}$ Für unten: $\begin{eqnarray} \frac{V}{t}=A(unten)\sqrt{2gh} \end{eqnarray}$ (Kontraktionszahl $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und Geschwindigkeitsziffer $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ lasse ich jetzt mal außen vor (Die Faktoren verringern die ideale Ausströmgeschwindigkeit und die ideale Querschnittsfläche, was mE bei meinem Problem aber keine Rolle spielt.)) Ok, also die oben angegeben Gleichungen wurden gleichgesetzt, integriert und als Ergebnis erhalte ich dann eben die Gleichung aus meinem ersten Post. Die haben wir auch in der Vorlesung erhalten. Dort haben wir dann auch noch nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ umgeformt und sind (leider) auf das Ergebnis aus dem angesprochenen Buch gekommen (also mit der $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ im Zähler.
05.02.2010, 00:34	Lue	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung der Torricelli-Auslaufzeit Hallo nochmals... Bitte mal um die gesamte Aufgabenstellung... wenn ich mir die Gleichung aus deinem ersten Post ansehe, kann die Formel schon alleine aufgrund der Einheiten nicht stimmen. Poste doch bitte mal das Ergebnis, in welcher Form du es laut Buch haben solltest. Wenn ich nur deinen letzten Post auswerte komme ich auf $\begin{eqnarray} t=\frac{AoDeltaH}{Au\sqrt{2gDeltaH} } \end{eqnarray*}$ ohne jetzt irgendeine Literatur befragt zu haben. Aber wie gesagt, Poste bitte alles, dann wirds einfacher.
05.02.2010, 11:21	Milkaschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine richtige Aufgabenstellung. Wir haben zunächst die Torricellische Ausfließformel aus dem Bernoulli-Gesetz hergeleitet: Torricellische Ausfließformel: $\begin{eqnarray} w=\sqrt{2gH} \end{eqnarray}$ (Ausfließgeschwindigkeit einer Flüssigkeit von der Höhe H auf die Höhe 0; bzw. ist H auch einfach der Höhenunterscheid, wenn der Becher nicht vollständig auslaufen soll, also nur um delta h.) Dann wollten wir die Auslaufzeit durch Integration berechnen. Es gilt ja, dass der Volumenstrom oben gleich dem Volumenstrom von unten ist. Für den Volumenstrom hatte ich in meinem letzten Post $\begin{eqnarray} \frac{V}{t} \end{eqnarray}$ angegeben, da ich nicht weiß, wie man ein Punkt über den Buchstaben $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ setzen kann. Richtigerweise hätte es natürlich $\begin{eqnarray} \frac{dV}{dt} \end{eqnarray}$ heißen müssen - Sorry dafür! Stimmen die Annahmen für die Volumenströme nicht? Hier sind sie nochmal: Für oben: $\begin{eqnarray} \frac{V}{t} = -A(oben) \frac{dh}{dt} \end{eqnarray}$ Für unten: $\begin{eqnarray} \frac{V}{t}=A(unten)\sqrt{2gh} \end{eqnarray}$ Stimmt das denn soweit? Beides Mal ist eine Fläche enthalten (A(unten) bzw. A(oben)) und beides mal eine Geschwindigkeit (einmal eben die Torricellische Ausflußzeit $\begin{eqnarray} \sqrt{2gH} \end{eqnarray}$ für unten und für oben wurde die Höhenänderung pro Zeit $\begin{eqnarray} \frac{dh}{dt} \end{eqnarray}$ eingesetzt, welche ja auch die Einheit $\begin{eqnarray} \frac{m}{s} \end{eqnarray}$ hat... So ich habe das ganze jetzt nochmal gerechnet und glaube den Fehler gefunden zu haben: Nach Umstellen der Gleichung $\begin{eqnarray} A(unten)\sqrt{2gh} = -A(oben)* \frac{dh}{dt} \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} \int_{h0}^{ht} \!\frac{1}{\sqrt{h}} \, dh = \frac{A(unten)}{A(oben}\sqrt{2g}\int_0^t \! \, dt \end{eqnarray}$ Bei der linken Integration habe ich nun einen Fehler gemacht. Das Ergebnis muss ja $\begin{eqnarray} -\left[2h^{0,5}\right]_{h0}^{ht} \end{eqnarray}$ sein. Ich hatte aber zunächst gedacht, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray} -\left[(2h)^{0,5}\right]_{h0}^{ht} \end{eqnarray}$ ist, da ich dies so in der Vorlesung aufgeschrieben hatte. Wahrscheinlich war das aber ein Abschreibfehler, da wir im nächsten Schritt ja dann doch auf das Ergebnis wie im Buch gekommen sind. Danke für deine Hilfe!

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