Partialbruchzerlegung

05.02.2010, 11:18

Wizard

Partialbruchzerlegung

Hallo zusammen!

Ich hab hier eine Funktion, die ich per Partialbruchzerlegung auflösen möchte, die sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{50s + 1250}{s(s^2+s)} \end{eqnarray*}$

Die Nennernullstellen sind: 0, 0 und -1.
Wenn ich meinen Taschenrechner befrage, sagt der mir, dass da

$\begin{eqnarray*} \frac{1200}{s+1}- \frac{1200}{s}+\frac{1250}{s^2} \end{eqnarray*}$

herauskommt. Leider gibt er mir auch keinen Rechenweg an, aber genau um diesen geht es mir. (Habs mal eingegeben, so dass ich weiss, wo ich hin muss)
Ich hab diesen Ansatz genommen, da ich ja ne doppelte Nullstelle habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(s+1)} +\frac{B}{(s-0)} +\frac{C}{(s-0)^2} \end{eqnarray*}$

Frage: Ist das überhaupt richtig? (Sollte so sein, weil sieht ja fast so aus, wie die Taschenrechnerlösung ;-))
Ich mache dann also weiter mit dem Ersetzen des Nenners durch die Linearfaktoren auf der linken Seite, ich erhalte folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{50s+1250}{(s-0)^2(s+1)} =\frac{A(s-0)(s-0)^2+B(s+1)(s-0)^2+C(s+1)}{(s+1)(s-0)(s-0)^2} \end{eqnarray*}$

wenn ich dann die Gleichung mit diesen Linearfaktoren multipliziere, bekomme ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} 50s+1250=A(s-0)^2+B(s+1)(s-0)+C(s+1) \end{eqnarray*}$

nun setze ich für s die Nullstellen ein, um das Gleichungsystem zu lösen. Für s=0 erhalte ich das:

$\begin{eqnarray*} 50\cdot0+1250=0+0+C \Rightarrow C=1250 \end{eqnarray*}$

für s=-1 erhalte ich das:

$\begin{eqnarray*} 50\cdot(-1)+1250=A+0+0 \Rightarrow A=1200 \end{eqnarray*}$

soweit so gut, aber wie erhalte ich B, da B ja in beiden Fällen 0 ist? Oder muss ich für s etwas anderes einsetzen? Oder hab ich zwischendurch einen Fehler gemacht? Ich glaub ich hab n Brett vorm Kopf, wäre lieb, wenn mir das mal jemand abschrauben könnte ;-)

05.02.2010, 11:24

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung
der ansatz ist richtig
mit koeffizientenvergleich hast du:

$\begin{eqnarray*} s^2 : A+B=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s^1 : B+C=50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s^0 : C = 1250 \end{eqnarray*}$

05.02.2010, 11:30

Wizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, das liest sich schonmal gut, auch wenn ich noch nicht weiss, an welcher Stelle (hier: bei welcher Zeile) ich diesen Koeffizientenvergleich mache. Bzw: Wie genau geht der eigentlich? War da nicht was mit alles nach $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s^0 \end{eqnarray*}$ sortieren? Wäre nett, wenn du mir den Schritt noch eben erklären könntest. Danke und Gruß!

05.02.2010, 11:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung
Schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{50s + 1250}{s(s^2+s)} = \frac{A}{(s+1)} +\frac{B}{(s-0)} +\frac{C}{(s-0)^2} \end{eqnarray*}$

Multipliziere die Nenner weg und mache einen Koeffizientenvergleich.

05.02.2010, 11:52

Wizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eben genau um diesen Koeffizientenvergleich ging es mir dann zum Schluß... ;-) Habs gerade aber auch rausbekommen, wusste nur nicht, was man für s einsetzt, aber dafür musste man ja gar nichts einsetzen. Hoffe, dass ich jetzt auch weiss, was ein Koeffizientenvergleich ist (sortierung nach Potenzen - daraus ergibt sich ein Gleichungssystem? Ist das immer so?). Danke für die Hilfe! Schönen Gruß!

05.02.2010, 12:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wizard
Hoffe, dass ich jetzt auch weiss, was ein Koeffizientenvergleich ist (sortierung nach Potenzen - daraus ergibt sich ein Gleichungssystem? Ist das immer so?).

Im Prinzip ja - jedenfalls bei der Partialbruchzerlegung. smile

Neue Frage »

Antworten »

Partialbruchzerlegung

Verwandte Themen