komplexe Funtion integrieren

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Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Funtion integrieren
Hallo zusammen,

ich muss einen Vortrag halten und hab dabei ein paar Probleme:

1: Warum ist eine Funktion,die eine Stammfunktion besitzt auch holomorph??

Ich weiß,dass die beiden Aussagen äquivalent sind,aber ich kann nicht sagen warum.

2. Ich soll zeigen dass die Funktion f: C ohne 1 -->C für alle z Element C : f(z) = 1/(z-1)³
holomorph ist,indem ich die Stammfunktion bilde.

Kann mit da jemand zumindest den Ansatz geben?? Oder bestenfalls auch ne Lösung?

Danke schonmal!!

Liebe Grüße
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Funtion integrieren
«holomorph», «differenzierbar» und «beliebig oft differenzierbar» sind im Komplexen äquivalente Funktionseigenschaften. Das erklärt 1.

F(z) = - 0.5/(z-1)^2 ist Stammfunktion (nach denselben Regeln wie im Reellen)
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Funtion integrieren
Zitat:
Original von wisili
«holomorph», «differenzierbar» und «beliebig oft differenzierbar» sind im Komplexen äquivalente Funktionseigenschaften. Das erklärt 1.


Nein.
Eine Funktion ist in einem einzelnen Punkt komplex differenzierbar [oder auch nicht]. Wenn sie dagegen holomorph in einem Punkt ist, dann hat dieser Punkt eine ganze Umgebung so, dass die Funktion in jedem einzelnen Punkt dieser Umgebung komplex differenzierbar ist.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Funtion integrieren
Mit «differenzierbar» schlechthin ist die globale, nicht die punktweise Differenzierbarkeit gemeint.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du das dazuschreiben, denn gemeinhin meint man mit Differenzierbarkeit, dass es eine lokale Eigenschaft ist Augenzwinkern .
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ueblich ist der Wortgebrauch doch so:
«f: y = 1/x ist stetig» bedeutet «f: y = 1/x ist an jeder Stelle (des Definitionsbereiches) stetig».
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Antworten!

Mein Problem ist,dass ich sagen soll warum sie äquivalent sind. Kann mir da jemand weiterhelfen`?

Ebenso,warum eine Funktion die man als Potenzreihe entwickeln kann auch holomorph ist?!?!?!

ich weiß das man es so ist,aber warum???

@wisili: deine angegebene stammfunktion kann ich irgendwie nicht nachvollziehen,sorry.

ich dachte da muss man mit dem ln oder dem arctan arbeiten?!?!?!?

Ohje,ich bitte um weitere antworten....
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Analytische...lexe_Funktionen

Die Stammfuktion überprüft man durch Ableiten.
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

F(z)= -0,5/(z-1)²

ich würde das mit der quotientenregel ableiten

f(x)= u(x)/v(x)

f´(x)= u´(x)*v(x) - u(x)*v´(x) / (v(x))²

Aber da bekomme ich keine 1 in den Zähler?!?!?

Oder was hab ich falschgemacht?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

f´(x)= (u´(x)*v(x) - u(x)*v´(x)) / (v(x))² = (0 - (- 0.5)*2(z-1)) / (z-1)^4 = 1/(z-1)^3

(Was du falsch machst, kann ich nicht wissen.)
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt,hab meinen dummen fehler entdeckt Hammer

danke!!!

du weißt nicht zufällig,was ich zu den äquivalenten aussagen sagen könnte?!?!? warum es so ist?
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

und noch ne frage: wie bist du denn auf die stammfunktion gekommen???

oder kannst du das aus bloßem hinsehen?!?!? Freude
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Aequivalenz:
«holomorph» ist per Definition «differenzierbar» (in einem Punkt, wie system-agent zurecht präzisiert)
Für die anderen Aequivalenzen habe ich oben den Link genannt (ich habe die Beweise nicht präsent)
Stammfunktion:
Ich habe die Substitutionsregel angewandt:


Diese «Potenzform» ist empfehlenswert auch zum ableiten: Statt der Quotientenregel genügt die Kettenregel.
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank!

hab bei wikipedia schon ziemlich alles durchgestöbert,habs nur auch gerne wenn es jemand mit eigenen worten erklärt,dann versteh ichs meistens besser ;-)

aber danke,du hast mir viel geholfen smile
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin auf noch ein problem gestoßen:

ich soll zeigen,dass f(z) = e^z holomorph ist,indem ich die funktion als potenzreihe enwickle. dabei soll ich als entwicklungsmitte z0 = pi*i nehmen.

wie ist das mit der entwicklungsmitte gemeint???
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Es kann nur der Entwicklungspunkt z0 sein. (vgl. Definition und Beispiele bei http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe)
Beachte: e^z = e^(pi*i) * e^(z - pi*i), besonders wenn du die Potenzreihe für e^z mit Entwicklungspunkt 0 bereits kennen solltest.
Es ist ja e^(pi*i) = -1.
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

ich kenne die entwicklungsreihe von e^x

ich dachte das e^z analog dazu ist.

wie muss ich denn e^z = e^(pi*i) * e^(z-i*pi) da einfügen??
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten so:
Schreibe die Potenzreihe für die Funktion e^u mit Entwicklungsstelle 0 auf,
ersetze dann u durch (z-pi*i).

(Beachte meinen Nachtrag oben.)
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

warum ist e^(pi*i) = -1 ???
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du eine Funktion entwickeln, von der du nicht mal einen Funktionswert berechnen kannst?

Kennst du das: r (cos a + i sin a) = r*e^(a*i) für reellen Winkel a? Setze a=pi.
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

ja kenn ich,aber trotzdem heißt das für mich nicht,dass es -1 ergibt.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Musste oben nachbessern.
Berechne doch bitte: r (cos a + i sin a)
mit a=pi und r=1.
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

ok habs kapiert...

ich weiß,dass ich ein schrieriger fall bin...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ergebnis:
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das versteh ich wieder nicht richtig.... traurig

Ich fang doch mit e^z = Summe von z^n/n! von n=0 bis unendlich an?!?

z:= x+yi = e^ia

ach ich hab keine ahnung ... traurig verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
Ueblich ist der Wortgebrauch doch so:
«f: y = 1/x ist stetig» bedeutet «f: y = 1/x ist an jeder Stelle (des Definitionsbereiches) stetig».


Und trotzdem hat system-agent recht. Die Begriffe "(komplex) differenzierbar" und "holomorph" sind NICHT das gleiche.
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,dass weiß ich....

Kannst du mir mit meiner Reihenentwicklung weiterhelfen???
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, hab ich jetzt keine Lust zu, sorry. Ich wollte nur wisilis letzten Beitrag zu dem Thema nicht so stehen lassen.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Und trotzdem hat system-agent recht. Die Begriffe "(komplex) differenzierbar" und "holomorph" sind NICHT das gleiche.


Wenn sie auf dieselbe offene Menge und dieselbe Funktion angewendet werden schon.
(Aber es mag akademische Traditionen geben, die «differenzierbar» im Reellen einen globalen Anwendungsbereich zugestehen, im Komplexen dagegen nur den punktuellen.)
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehs irgendwie schon,aber ich weiß nciht wie ich es richtig aufschreiben soll,so schritt für schritt.

Ergebnis:

das minus kann cih nicht nachvollziehen,ansonsten schon... aber ich weiß trotzdem nciht wie ich das erklären soll.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz weit oben habe ich mal e^z = e^(pi*i) * e^(z-i*pi) genannt.
Ueber e^(z-i*pi) haben wir diskutiert: Das gibt die Summe.
Ueber e^(pi*i) haben wir noch länger diskutiert: Das gibt -1, also das Minuszeichen.
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, vielen dank !!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
(Aber es mag akademische Traditionen geben, die «differenzierbar» im Reellen einen globalen Anwendungsbereich zugestehen, im Komplexen dagegen nur den punktuellen.)


Von "differenzierbar im Reellen" war hier nie die Rede. Nur von "komplex differenzierbar". Und diese Eigenschaft definiert man zunächst mal nur punktuell. Wenn eine Funktion in einem Punkt komplex differenzierbar ist, heißt es noch lange nicht, dass sie in ihm auch holomorph ist. Das ist sie genau dann, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass die Funktion in jedem Punkt dieser Umgebung komplex diffbar ist.

Kein Mensch redet übrigens von "auf offenen Mengen komplex diffbaren Funktionen". Man ersetzt das gleich mit "holomorph" oder "analytisch".
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
... , wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass die Funktion in jedem Punkt dieser Umgebung komplex diffbar ist.


oder bei Wikipedia (die von Menschen gemacht ist): ... falls eine Umgebung von z0 existiert, in der f komplex differenzierbar ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut. Bleib bei deinem Kram. Nur könntest du dann in Zukunft das Problem bekommen, dass du missverstanden wirst. Augenzwinkern
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

@wisili:
Hab noch ne Frage ;-)

e^z = e^(pi*i) * e^(z - pi*i)

Woher hast du das? ich finde dazu nichts...

Brauch ich ja auch zur erklärung der reihe.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

e^z = e^(pi*i) * e^(z - pi*i) entspricht dem Potenzgesetz e^a= e^b*e^(a-b) bzw. e^(u+v)= e^u*e^v.
Die Idee dafür kommt von der gesuchten Reihe, die logischerweise überall die Potenz-Basis (z - pi*i) haben muss.

(Aber ich bin der Meinung, dass das ein Trick ist, der beschleunigt. Du hättest die Reihe auch durch «gliedweise» Berechnung aus der allgemeinen Formel für die Entwicklung bei z0=pi*i erhalten können.)

@WebFritzi: Ich versuche daran zu denken, dass ich in Zukunft den Unterschied des globalen und des punktuellen Gebrauchs der einschlägigen Adjektive sprachlich explizit zum Ausdruck bringe. Danke!
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt:

ich will e^z entwickeln mit entwicklungspunkt pi*i und muss dazu zuerst

e^z = e^(pi*i) * e^(z - pi*i) bestimmen und daraus die reihe enwickeln?!?!

Hmm,wieso muss ich das damit machen???
Es geht einfacher hast du ja gesagt,aber woher weiß ich,dass ich das auch damit machen darf?
Sarenka Auf diesen Beitrag antworten »

oder es genügt einfach nur das:

e^z = e^(pi*i) * e^(z - pi*i)

e^(pi*i) = -1 , da r (cos pi + i sin pi) =-1 für r=1

muss ich r auch begründen? is ja nur wegen der einfachheit.

e^(z - pi*i) = die summe (z-pi*i)^n/n!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die Potenzgesetze kennst du ja. Deine Frage, ob man das alles darf ist deshalb unglücklich.
Vermutlich steckt dahinter die Frage, wie man auf solche Tricks kommt.
Antwort: Man ist ein Genie oder (das sind aber die allerwenigsten) man hat es mal irgendwo gesehen.
Erfahrung, oder brutaler das Alter bringt es mit sich ...
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