Vier Kreise in einem Kreis

05.02.2010, 14:55

Kääsee

Vier Kreise in einem Kreis

Hallo

ich habe hier noch eine Kreisberechnungsaufgabe. Wir hatten bis jetzt in der Schule immer nur ein Quadrat, indem dann ein (4, 9 usw.) Kreis(e) waren. Jetzt hat ein Freund von mir gesagt (ist in einer anderen Klasse), sie hätten folgende Aufgabe: Sie müssten aus einem Kreis vier größtmögliche Kreise herausschneiden und dann den Abfall in Prozent berechnen.Leider hat er es nicht hinbekommen und jetzt sollte ich es mal versuchen.
Hier mal meine Ansätze:
[attach]13319[/attach]

R=Radius des großen Kreises
r=Radius der kleinen Kreise

1. $\begin{eqnarray*} x²=R²+R² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt2 R \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x-2y=2r \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} (2y)²=r²+r² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4y²=2r² \end{eqnarray*}$

naja, irgendwie doof, jetzt komm ich nicht mehr weiter. Hab ja 3 Gleichungen, aber 4 Variablen... unglücklich

Oder kann ich es irgendwie anders machen? Strahlensatz könnte ich ja auch anwenden, bringt ja aber nichts.
Hoffe, mir kann jemand helfen!

GlG

05.02.2010, 15:11

riwe

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RE: Vier Kreise in einem Kreis
wandere entlang eines durchmessers des großen kreises von einem berührpunkt zum mittelpunkt, dann sollte gelten:

$\begin{eqnarray*} R=r(1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

glaube ich zumindest nach der verrechnerei von gestern Augenzwinkern

05.02.2010, 15:15

Kääsee

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ah, ich glaub, ich bin schonmal weitergekommen^^
ich muss ja r nur in Abhängigkeit von R wissen, oder?

Also ich hätte dann die 3. Gleichung mal nach y aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \frac{r}{\sqrt2}=y \end{eqnarray*}$

Dann das in die 2. Gleichung eingesetzt und nach x aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{2r}{\sqrt2}+2r \end{eqnarray*}$

und die dann wieder in die erste eingesetzt und nach r aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt2 R}{\frac{1}{\sqrt2}+1}\right) \end{eqnarray*}$

verwirrt

Und jetzt müsste ich mal die beiden Flächeninhalte aufstellen... Hab ich bis hierhin schon Fehler gemacht?

edit: @riwe: das versteh ich nicht so ganz unglücklich

05.02.2010, 15:34

Kääsee

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@riwe: Unsere Ergebnisse sind identisch smile

Wenn man meins mal vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} r=\frac{\sqrt2 R}{2+\sqrt2} \end{eqnarray*}$

dann im Nenner $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} r=\frac{\sqrt2 R}{\sqrt2(\sqrt2+1)} \end{eqnarray*}$

ja und dann kürzen und nach R auflösen, dann kommt dein Ergebnis raus. Dann rechne ich jetzt mal fleißig weiter smile

edit: die Summanden im Nenner hab ich vertauscht, weil sie auf meinem "Rechenblatt" andersrum stehen Augenzwinkern

, nicht dass es dich verwirrt Big Laugh

05.02.2010, 15:39

riwe

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Zitat:

Original von Kääsee
ah, ich glaub, ich bin schonmal weitergekommen^^
ich muss ja r nur in Abhängigkeit von R wissen, oder?

Also ich hätte dann die 3. Gleichung mal nach y aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \frac{r}{\sqrt2}=y \end{eqnarray*}$

Dann das in die 2. Gleichung eingesetzt und nach x aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{2r}{\sqrt2}+2r \end{eqnarray*}$

und die dann wieder in die erste eingesetzt und nach r aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt2 R}{\frac{1}{\sqrt2}+1}\right) \end{eqnarray*}$

verwirrt

Und jetzt müsste ich mal die beiden Flächeninhalte aufstellen... Hab ich bis hierhin schon Fehler gemacht?

edit: @riwe: das versteh ich nicht so ganz unglücklich

wieso nicht, da steht zumindest dasselbe wie bei dir, gut verschlüsselt Augenzwinkern

vom gemeinsamen berührpunkt gehst du einen radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ des kleinen kreises und anschließend eine halbe diagonale des quadrates, also $\begin{eqnarray*} r\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bis zum gemeinsamen mittelpunkt.

und obiges gehübscht, steht dann da

$\begin{eqnarray*} r=R(\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$

was wie gesagt dasselbe ist, was du rausgebracht hast

05.02.2010, 15:43

Kääsee

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Danke, ich hab's jetzt verstanden, siehe Post obendrüber^^
ich poste dann gleich mal, wie ich weitergerechnet habe.

05.02.2010, 15:55

Kääsee

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So.

$\begin{eqnarray*} A_{großer Kreis}=\pi R² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{kleine Kreise}=4\pi \left(\frac{R}{\sqrt2 +1}\right)²=\frac{4\pi R²}{3+2\sqrt2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Rest}=\pi R²\left(1-\frac{4}{3+2\sqrt2}\right) \end{eqnarray*}$

Und der Abfall in Prozent ist dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi R²\left(1-\frac{4}{3+2\sqrt2}\right)}{\pi R²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-\frac{4}{3+2\sqrt2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \approx 0,3137=31,37% \end{eqnarray*}$

alles richtig? smile

05.02.2010, 15:56

riwe

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05.02.2010, 15:58

Kääsee

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jippieh! Danke!

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