"Hanging Rootogram"

05.02.2010, 15:40	^2	Auf diesen Beitrag antworten »
"Hanging Rootogram" Ich habe gleich noch eine zweite Anfängerfrage: Und zwar ob folgendes richtig ist (es geht um "hangig rootograms"): Angenommen, die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unterliegen alle der selben Verteilung $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Wenn ich mir ein Histogramm anschaue, dann kann ich ja mit $\begin{eqnarray} E( \sum_{i=1}^n \mathbb{I}_{I_{j}} (X_i)) = n P(X_1 \in I_j) \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \mathbb{I} \end{eqnarray}$ sei die Indikatorfunktion) die erwartete Anzahl der Realisationen der $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ im j-ten Intervall vorstellen (wenn die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unabhängig und, wie gesagt, identisch verteilt sind). D.h. wenn ich $\begin{eqnarray} p_j := P(X_i \in I_j) \end{eqnarray}$ setze, erwarte ich $\begin{eqnarray} np_j \end{eqnarray}$ Realisationen im j-ten Intervall. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Realisationen habe, kann ich ja dann durch die Binomialverteilung ausdrücken, also $\begin{eqnarray} B(n,p_j)(k) \end{eqnarray}$ . Wenn ich jetzt mit $\begin{eqnarray} N_j \end{eqnarray}$ die gezählten Realisationen beschreibe und $\begin{eqnarray} N_j - np_j \end{eqnarray}$ plotte, habe ich ein hängendes Histogramm, und wenn die angenommene Verteilung $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ zutrifft, sollten die Ausschläge möglichst klein sein. D.h. anschaulich hängen die Abweichungen zwischen Annahmeverteilung und Realisationen sozusagen von der Nullinie herab. Soweit ist das alles klar glaube ich. Beim Rootogramm plottet man jetzt ja $\begin{eqnarray} \sqrt{N_j} - \sqrt{np_j} \end{eqnarray}$ , denn die Wurzelfunktion ist eine varianzstabilisierende Funktion für die Binomialverteilung und wenn die Verteilungsannahme stimmt ist auch $\begin{eqnarray} N_j - np_j \end{eqnarray}$ binomialverteilt wegen dem Faltungstheorem der Binomialverteilung. Jetzt meine Fragen (falls das alles überhaupt soweit stimmt, wir haben das nur sehr knapp behandelt) 1) Die $\begin{eqnarray} N_j \end{eqnarray}$ sind doch eigentlich gar nicht unabhängig, weil doch $\begin{eqnarray} \sum N_j = n \end{eqnarray}$ wird. Darf man dann überhaupt mit der Binomialverteilung und dem Faltungstheorem, etc. argumentieren? 2) Warum brauche ich überhaupt eine konstante Varianz? Eigentlich betrachtet man mit $\begin{eqnarray} N_j - np_j \end{eqnarray}$ doch nur Erwartungswerte (und die Varianz hängt ja vom Erwartungswert ab, nicht umgekehrt)? 3) Als nächstes haben wir die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ sogar noch studentisiert. Falls also $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ die studentisierten Werte sind, dann ist $\begin{eqnarray} \overline{Y}_n = 0, S^2_{Y,n}=1 \end{eqnarray}$ . Irgendwie ist mir nicht klar, warum man das macht? Wenn man z.B. schon studentisiert hat, warum führt man dann nochmal eine Varianzstabilisierung durch (hangig Rootogramm) und plottet nicht einfach das hängende Histogramm?

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