abbildung (B,B)-messbar

05.02.2010, 20:13

noname

abbildung (B,B)-messbar

hallo,
ich hätte gerne mal eine rückmeldung, ob ich die aufgabe richtig gelöst habe. wäre euch sehr dankbar, für verbesserungsvorschläge etc.

die aufgabe lautet:
zeige, dass die abbildung x -> x-[x] (B,B)-messbar ist.
[x]:=max{k element Z: k <,= x}den unteren ganzwert von x.
meine lösung lautet:
man betrachtet B als zugrundeliegende sigma- algebra.hier ist es ausreichend, den nachweis für die elemente eines erzeugendensystems von B zu führen. man wählt das system von mengen Aa der form Aa=(-00, a), a element IR.
k(a):=max {k element Z: k <,=a}.
=> dann ergibt sich zu gegebenen Aa als urbild unter der genannten abbildung die menge (-00, k(a)-a+1)dies liegt wieder in B. und somit ist es messbar.
B:= borelmengen, Z:= ganze zahlen

wie gesagt wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir sagen könntet, ob es richtig ist, falsch etc. vielen dank im voraus

05.02.2010, 22:12

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Die Urbilder hast du total falsch berechnet: Für $\begin{eqnarray*} f(x) = x - \lfloor x \rfloor \end{eqnarray*}$ ergibt sich tatsächlich

$\begin{eqnarray*} f^{-1}((-\infty,a)) = \begin{cases} \emptyset & \;\mbox{für}\; a\leq 0 \\[1em] \bigcup\limits_{n=-\infty}^{\infty} [n,n+a) & \;\mbox{für}\; 0<a\leq 1 \\[1em] \mathbb{R} & \;\mbox{für}\; a> 1\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

siehe Skizze: Beispiel $\begin{eqnarray*} a=0.7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}((-\infty,0.7)) \end{eqnarray*}$ umfasst alle Argumente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , deren Funktionswerte kleiner als 0.7 sind, d.h. wo in der Skizze "rot unter grün" ist.

06.02.2010, 08:56

noname

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BB- messbar
hallo, danke ersteinmal für deine schnelle antwort.
habe jetzt allerdings noch ein paar fragen verwirrt

ich suche mir jetzt werte für a, die ich dann in x-[x] also in die funktion einsetzte und dann die urbilder davon?
ich stehe jetzt irgendwie auf dem schlauch?
aber die funktion ist doch immer noch BB-messbar oder?
vielen dank nocheinma, dass du mir hilfst

06.02.2010, 16:51

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Zitat:

Original von noname
ich suche mir jetzt werte für a, die ich dann in x-[x] also in die funktion einsetzte und dann die urbilder davon?

Das klingt irgendwie nicht so, als hast du verstanden, was "Urbild" bedeutet. Schau dir nochmal dessen Definition gründlich an, und dazu dann das, was ich in meinem vorigen Beitrag geschrieben habe, inklusive Beispielskizze.

Und ja, die Funktion ist messbar - die Urbilder in den drei möglichen Fällen sind alles Borelmengen: Die erste $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und dritte $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sowieso, aber auch die zweite als abzählbare Vereinigung von Intervallen.

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