Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion

05.02.2010, 21:39

spock

Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion

Guten Tag ich schreibe nächste Woche Freitag Mathe2 an der FH und komme beim Thema unendlichen Reihen nicht weiter, es geht sich um Folgendes:

was ich noch rechnen kann:

8=unendlich

8
? 4nn!=
n=0

8
? 1n!?4n
n=0
Entwicklung 1n!?xn
Funktion ex

d.h. e4

so jetzt komme ich zur Aufgabe die ich nicht mehr lösen kann.

8
? ?4??2n(-16)n(2x+1)!
n=1

Entwicklung:

8
? (-1)n?1(2n+1)!?x2n+1
n=0

Funktion: sin(x)

d.h. ich muss

8
? ?4??2n(-16)n(2n+1)!
n=1

zu

8
? (-1)n?1(2n+1)!?x2n+1
n=0

umformen.

d.h. erstmal die 16 zu 42n umformen den n-Indize auf n=0 setzen d.h. die 2n zu 2n+1 usw umformen und n=0d.h.(?4) abziehen.
Das Problem ist jetzt, das ich unten schon einmal 2n+1 habe.

Die Musterlösung sagt da einfach:

8
? (-1)n??2n+1(4)2n+1(2n+1)!-?4
n=0

mein Problem ist jetzt, kann ich einfach (-1)n dazu schreiben?
da es für unendlich ja so oder so 1 wird
und warum 2n+1 nicht erweitert wird, und warum ??4 wegfällt.

das ich ?4 dann rausziehen kann ist mir klar und dass man dann

sin(?4)-?4

rechnet ist mir auch klar.

05.02.2010, 21:43

Calvin

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Hi spock,

das ist leider vollkommen unverständlich. Schau dir mal unseren Formeleditor an. Damit werden deine mathematischen Ausdrücke lesbar und du wirst sicher Hilfe bekommen.

05.02.2010, 22:18

spock-ger

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
Guten Tag ich schreibe nächste Woche Freitag Mathe2 an der FH und komme beim Thema unendlichen Reihen nicht weiter, es geht sich um Folgendes:

was ich noch rechnen kann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{4^n}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} * 4^n \end{eqnarray*}$

Entwicklung:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} * x^n \end{eqnarray*}$

Funktion:
$\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

d.h.
$\begin{eqnarray*} e^{4} \end{eqnarray*}$

so jetzt komme ich zur Aufgabe die ich nicht mehr lösen kann.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\pi }{4} * \frac{\pi^{2n} }{(-16)^{n} (2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Entwicklung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \end{eqnarray*}$

Funktion:
$\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$

d.h. ich muss

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\pi }{4} * \frac{\pi^{2n} }{(-16)^{n} (2n+1)!} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \end{eqnarray*}$

umformen.

d.h. erstmal die 16 zu $\begin{eqnarray*} 4^{2n} \end{eqnarray*}$ umformen den n-Indize auf $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ setzen d.h. die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in den Formeln umformen und $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ (ausgerechnet= $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ )abziehen.

Das Problem ist jetzt, das ich unten schon einmal 2n+1 habe und somit eigentlich 2n+2 hätte.

Die Musterlösung sagt da einfach:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{\pi ^{2n+1}}{4^{2n+1}(2n+1)!} -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

mein Problem ist jetzt, kann ich einfach $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ dazu schreiben?

da es für unendlich ja so oder so 1 wird?

und warum 2n+1 nicht erweitert wird, und warum $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ !!!aus der Aufgaben der erste Bruch!!! wegfällt.

das ich $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ aus dem !!! 2ten Bruch rausziehen kann, dass zu x machen kann und damit die Funktion erfüllte ist mir klar

d.h.
$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi }{4} ) -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

05.02.2010, 22:52

crosell

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
Das mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ abziehen stimmt soweit, da die Reihe ja nicht bei 0 sondern bei 1 losgeht, an den Indizes in der Reihe brauchst du dann aber nichts umformen, das hast du damit dann schon ausgeglichen. Dann sollte dir klar sein, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(-1)^n} \end{eqnarray*}$ das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ geht für n gegen unendlich mitnichten gegen 1 sondern springt zwischen 1 und -1 beständig hin und her, weshalb die Sinusreihe auch zu den alternierenden Reihen gehört. Wenn du nun noch dein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{4^2})^n \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \pi^{2n} \end{eqnarray*}$ verrechnest sollte schon alles dastehen Augenzwinkern

05.02.2010, 23:38

spock-ger

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
d.h.

bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\pi }{4} * \frac{\pi^{2n} }{(-16)^{n} (2n+1)!} \end{eqnarray*}$

zieht man einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

in den Bruch und um auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi ^{2n+1}}{4^{2n+1}(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Indizes muss ich nicht verschieben, weil ich schon abgezogen habe ?!

aber woher kommt das

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$

also -1 ist klar von der -16 das *-1 vorgezogen, aber warum hoch n
, darf man das einfach dazu schreiben ?

UND VIELEN DANK SCHONMAL XD

06.02.2010, 00:03

crosell

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
Also nochmal kurz zur Indexverschiebung, an dem Summenzeichen muss dann natürlich x=0 gesetzt werden, ich meinte nur, dass man in sonst in der Reihe nichts ändern muss, wegen schon abgezogenem , kannst du dir ja leicht überlegen, wenn du bei 0 anfängst ist halt $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ zuviel und daher muss es abgezogen werden, damit die eigentlich Reihe ab 1 im Hintergrund erhalten bleibt. Woher kommt die $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ?!, du kannst doch $\begin{eqnarray*} (-16)^n \end{eqnarray*}$ umschreiben in $\begin{eqnarray*} (-1*16)^n \end{eqnarray*}$ . Dann folgt nach Potenzgesetzen und meinen Erläuterungen von vorhin?

06.02.2010, 00:07

spock-ger

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
Jup super, das mit den indezes hatte ich gerallt (nach deinem ersten post) und das mit der 1^n jetzt auch xD ... super DANKe ....

eigentlich total simpel aber muss man erstmal drauf kommen ...

Jippi ich kann weiter lernen ... (der hat nähmlich von dem typ aufgabe mehrere ...)

schnelle antwort geiles Board xD

06.02.2010, 21:01

Spock

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
Habe ein weiteres Problem, unzwar:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4^{-n}}{n} \end{eqnarray*}$

umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{4^{-(n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

So Entwicklung dafür ist :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{1}{n+1} x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Funktion:

ln(1-x)

So ich würde jetzt folgendes tun:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\frac{1}{4}^{(n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

umstellen um auf (-1)^n zu kommen

$\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{-\frac{1}{4}^{(n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{-\frac{1}{4}^{(n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt splitten auf:

$\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{-\frac{1}{4}^{n}-\frac{1}{4}}{n+1} \end{eqnarray*}$

dann von der $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

auf die $\begin{eqnarray*} -1^{n} \end{eqnarray*}$

setzen und dann die Terme wieder zusammenfügen zu:
$\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{-\frac{1}{4}^{(n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? denn ich würde das etwas anders machen und bei mir würde das -1/4 zu 1/4 werden nur in der Musterlösung steht direkt der Term

$\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{-\frac{1}{4}^{(n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

d.h. bei mir würde da

$\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\frac{1}{4}^{(n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$
aber das ist wohl falsch:

06.02.2010, 23:02

crosell

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
Da du ja schon sowohl die Musterlösung als auch den Ansatz und alles gegeben hast ist nicht viel dabei. gehe von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\cdot(\frac{1}{4})^n=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{2n}\cdot\frac{1}{n}\cdot(\frac{1}{4})^n \end{eqnarray*}$ aus und bringe das auf die Form die du haben möchtest am Ende.

07.02.2010, 09:41

crosell

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion
Dein Fehler beginnt ab dieser Stelle:

Zitat:

muss ich jetzt splitten auf: $\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{-\frac{1}{4}^{n}-\frac{1}{4}}{n+1} \end{eqnarray*}$

dieser Schritt wäre so richtig: $\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{1}{4})^n\cdot(-\frac{1}{4})}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Musst du sehen, ob du von hier weiterkommst. Es bringt finde ich auch nicht so sehr viel, die gegebene Entwicklung zu nehmen dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ einzusetzen und zu versuchen, dass so umzubauen, damit deine Musterlösung rauskommt.

Ich finde es persönlich besser, das ganze direkt anzugehen, d.h. von deiner gegebenen Reihe auszugehen und diese dann auf die Form für den Logarithmus zu bringen. Den Ansatz dafür hab ich dir im vorigen Post gegeben, denn da $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n} \end{eqnarray*}$ für jedes n gleich 1 ist, kannst du es praktischerweise in die Reihe einsetzen, ohne etwas verändert zu haben. Damit hast du aber wenigstens deine $\begin{eqnarray*} {-1}^{n} \end{eqnarray*}$ in einer etwas anderen Form stehen, die hilft dir aber beim Auflösen auf deine Form, durch Indexverschiebung und Co.

Mehr möchte ich dazu erstmal nicht sagen. Probier es einfach mal aus Freude

07.02.2010, 14:20

WebFritzi

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RE: Bestimmung unendlicher Reihen mit Entwicklung und Funktion

Zitat:

Original von spock-ger
es geht sich um Folgendes:

Möchte an dieser Stelle nur kurz bemerken, dass es diesen Ausdruck in der deutschen Sprache nicht gibt.

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