Potenzreihe+Konvergenzradius

05.02.2010, 22:32

Dalice66

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Potenzreihe+Konvergenzradius

Moin Leute...

Ich soll den Konvergenzradius folgender Potenzreihe bestimmen und alle x€R, für die die Potenzreihe konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty (\frac{n^2+1}{5n}) {(x-1)}^n \end{eqnarray*}$

R=5, daraus folgt:

<5=Konvergenz, >5=Divergenz

Jetzt habe ich noch eine Fragen. Der Entwicklungspunkt ist hier

$\begin{eqnarray*} (x-x_0)^n=(x-(-1))^n \end{eqnarray*}$

also +1.

So, was mache ich nun mit den Randpunkten? Aufgrund des Entwicklungspunktes sind die -4 und +6

05.02.2010, 22:34

tmo

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Wie kommst du darauf, dass der Konvergenzradius 5 ist?

05.02.2010, 23:02

Dalice66

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Moin...

$\begin{eqnarray*} r=|\frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+1}{5^n} *\frac{5^{n+1}}{{(n+1)}^2+1} =\frac{5n^2+5}{n^2+2n+2} \end{eqnarray*}$

5n² ausklammern

$\begin{eqnarray*} (\frac{5n^2}{5n^2} )*\left(\frac{5+\frac{5}{n^2} }{1+\frac{2}{n} +\frac{2}{n^2} } \right) --->0=5 \end{eqnarray*}$

06.02.2010, 13:26

TommyAngelo

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Im Nenner steht doch 5n und nicht 5^n.

06.02.2010, 14:07

Dalice66

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Moin,

ich habe bei meinen Aufschreibungen zwei Fehler reingehauen. Also:

1) Es muss im Nenner 5 hoch n heissen.

2)

$\begin{eqnarray*} \frac{5n^2+5}{n^2+2n+2} \end{eqnarray*}$

n hoch 2 ausklammern, gegen unendlich laufen lassen, voila...R=5

Sorry fuer die Unklarheiten...

Nochmal die Frage: Was mache ich mit den Randpunkten und wie verwurste ich die in der Aufgabe?

06.02.2010, 14:49

Elvis

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Für die Randpunkte bekommst zwei Reihen, die du auf Konvergenz untersuchen darfst. Die allgemeine Regel ist, dass es keine allgemeine Regel gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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06.02.2010, 15:01

TommyAngelo

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Tipp: Wenn die Reihe im rechten Randpunkt konvergiert, dann auch im linken, denn aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz.
(Die Konvergenz im rechten Randpunkt ist ja gleichbedeutend mit der absoluten Konvergenz im linken Randpunkt.)

06.02.2010, 16:05

Dalice66

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Joo,
was habe ich denn nun....

Also, normalerweise muessten dann die Reihen so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to 0\infty } \frac{n^2+1}{5^n} *6^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to 0\infty } \frac{n^2+1}{5^n} *-4^n \end{eqnarray*}$

@Tommy...

Mir hat man gesagt, dass immer beide Randpunkte zu untersuchen sind. Ich denke, dass das nicht unbedingt sein muss, da deine Erklaerung durchaus sinnvoll scheint.

Nun zu meinem Problem...Wie mache ich jetzt weiter? Wenn ich wieder mit dem Ausklammern anfange und das dann gegen unendlich laufen lasse, halte ich das irgendwie fuer verkehrt. Kann ich nun daraus jeweils zwei Teilreihen machen und das denn getrennt untersuchen, oder habe ich hier eine Geometrische Reihe?

Tut mir leid Jungs, ab hier ist fuer mich wissenstechnisch Ende...

verwirrt

verwirrt

06.02.2010, 18:48

Elvis

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Knapp daneben. unglücklich

unglücklich

1. Fehler: Reihen, nicht Folgen. Deine Schreibweise ist absurd.
2. Fehler: Für x=6 ist x-1=5. Für x=-4 ist x-1=-5.
3. Fehler: $\begin{eqnarray*} *-4^n \end{eqnarray*}$ geht gar nicht, wenn schon dann $\begin{eqnarray*} *(-4)^n \end{eqnarray*}$ , und wegen des 2. Fehlers dann auch noch $\begin{eqnarray*} *(-5)^n \end{eqnarray*}$
4. Fehler: Du bist zu leichtgläubig. TommyAngelo's Argument mag dir sinnvoll erscheinen. Bevor du es bewiesen hast, ist es nur eine Hypothese.
5. Fehler: Du musst ohnehin beide Randpunkte untersuchen. Big Laugh

Big Laugh

Tipp. Schreib erst mal die Reihen ordentlich auf, dann wird alles viel leichter.

06.02.2010, 21:45

Dalice66

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Joo,

also muss ich den Konvergenzradius als Randpunkte (+/-) einsetzen...

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty }( \frac{n^2+ 1}{5^n}) *5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty }( \frac{n^2+ 1}{5^n}) *(-5) \end{eqnarray*}$

Was ich noch nicht ganz verstehe, ist dass mit den Randpunkten. Wann muss ich denn mit -4 und +6 arbeiten? Immer nur wenn ich das Intervall bestimmen muss, oder was? Immerhin ist der Entwicklungspunkt der Reihe bei +1. Ist das denn worscht?

Die zweite Reihe ist alternierend, der würde ich versuchen mit dem Leibniz auf dem Leib zu rücken.

07.02.2010, 01:22

TommyAngelo

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1. Es ist eine Reihe und kein Limes.
2. Du hast den Exponenten (hoch n) vergessen. Dann siehst du nämlich auch, dass sich was kürzen lässt.
3. Den Entwicklungspunkt siehst du einfach als Zentrum, um den dann ein Kreis mit dem Konvergenzradius geschlagen wird. Für alle x, die sich innerhalb dieses Kreises befinden, konvergiert die Reihe, für alle x außerhalb divergiert sie.
Für die Punkte, die auf dem Kreis liegen (Randpunkte), gibt es keine Regel. Man muss sie eben extra betrachten.

07.02.2010, 02:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty } \end{eqnarray*}$

Köstlich.

Big Laugh

07.02.2010, 10:28

Dalice66

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Jojo,

Schreibweise schlecht, 5 hoch n vergessen...

Kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+1}{5^n} * 5^n*(-1)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+1}{5^n} * 5^n \end{eqnarray*}$

Somit kann ich 5 hoch n kuerzen und es bleiben

$\begin{eqnarray*} n^2+1, n^2+1 *(-1)^n \end{eqnarray*}$

uebrig

Die erste Reihe laeuft gegen unendlich, die zweite muss nach dem Leibnizkrit. ueberprueft werden.

1. Sie alterniert

2. $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}|\leq |a_n| \end{eqnarray*}$

nach Einsetzen und Umformung komme ich auf

$\begin{eqnarray*} 0\leq 2n+1 \end{eqnarray*}$

Passt auch

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } |a_n|=0 \end{eqnarray*}$

Und hier passt es nicht mehr....

Also:

Fuer alle xER <5 Konvergenz

Fuer alle xER >5 Divergenz

Fuer alle xER =5 Divergenz

Fuer alle xER =-5 Divergenz

07.02.2010, 12:42

TommyAngelo

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Das Ergebnis stimmt, aber ich verstehe deine Schritte nicht.

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist nur zum alternieren da, d.h. du musst dir anschauen, ob $\begin{eqnarray*} n^2+1 \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Folge ist, wenn du das Leibnizkriterium anwendest.

07.02.2010, 12:53

Dalice66

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Hi Tommy,

ich habe mich diesmal eng am Skript gehalten und das sagt halt, dass als Vorbedingung fuer Konvergenz beim Leibnizkrit. die Reihe alternieren muss. Normalerweise nenne ich das auch nicht, da man sie sieht. Aber der Ordentlichkeit halber war das mal notwendig.

Danke fuer deine Hilfe

07.02.2010, 12:56

TommyAngelo

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Sie alterniert, wie man an $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ sieht.

07.02.2010, 13:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dalice66
3. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } |a_n|=0 \end{eqnarray*}$

Und hier passt es nicht mehr....

Das reicht als Argument. Das Leibnitzkriterium hat hier nichts verloren.

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