Wahrscheinlichkeitsmaß zeigen

06.02.2010, 14:22

hxh

Wahrscheinlichkeitsmaß zeigen

Huhu, hab hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkommen, wäre echt nett wenn jemand helfen könnte Wink

Sei $\begin{eqnarray*} B={B_t : 0 \leq t \leq T } \end{eqnarray*}$ ein Gauss Prozess mit drift 0 und Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 t \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ strickt positiv ist auf dem W-Raum $\begin{eqnarray*} ( \Omega, \mathcal F, \mathcal F_t , P ) \end{eqnarray*}$ , so kann man $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \sigma W_t \end{eqnarray*}$ für eine Standart BB auffassen kann (komischer Satz verwirrt

)

Sei $\begin{eqnarray*} \nu \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Lambda = exp ( \frac{\nu}{\sigma^2}B_T - \frac{\nu^2}{2 \sigma^2}T) \end{eqnarray*}$ eine zv.

und das Maß Q so definiert: $\begin{eqnarray*} Q(A)= E( \Lambda 1_A ) = \int \Lambda 1_A dP \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal F \end{eqnarray*}$

Das soll nun ein W-Maß sein.

Dafür muss ja gelten
$\begin{eqnarray*} Q(\emptyset) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q(\Omega )= 1 \end{eqnarray*}$
Additivität

$\begin{eqnarray*} 1. Q(\emptyset) = \int \Lambda 1_{\emptyset} dP = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn man über die leere Menge integriert dann muss das Integral ja einen Wert von Null haben.

$\begin{eqnarray*} 2. Q(\Omega ) = \int \Lambda 1_{\Omega} = 1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable ist muss ja eins rauskommen wenn man über den ganzen Raum integriert.

Additivität müsste man ja zeigen können indem man ausnutzt, dass P schon ein W-Maß ist.

06.02.2010, 17:09

Royal Tomek

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RE: Wahrscheinlichkeitsmaß zeigen
Du hast dir schon ungefähr überlegt, was du zeigen musst. Ganz stimmt es nicht. Zu zeigen ist nämlich:
1) $\begin{eqnarray*} Q(\Omega)=1 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} Q(A)\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -additiv

Dass $\begin{eqnarray*} Q(\emptyset)=0 \end{eqnarray*}$ folgt dann bereits schon!

3) ist nicht schwer, versuchs mal für 2 Mengen und die Verallgemeinerung auf eine abzählbare Folge ist dann kein Problem

1) ist eigentlich das "schwierige", denn

Zitat:

Original von hxh
$\begin{eqnarray*} 2. Q(\Omega ) = \int \Lambda 1_{\Omega} = 1 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable ist muss ja eins rauskommen wenn man über den ganzen Raum integriert.

ist jetzt ziemlich daneben. Sei nämlich zB $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ standardnormalverteilt, dann ist $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}~X~dP=0 \end{eqnarray*}$ (Eigentlich musst dir auch überlegen, was das $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf deinem W-Raum ist).

Überleg dir mal wie
a) $\begin{eqnarray*} B_T \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \frac{\nu}{\sigma^2}B_T \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} exp(\frac{\nu}{\sigma^2}B_T) \end{eqnarray*}$
verteilt sind. Denn anderen Teil vom $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ kannst rausheben vors Integral.

3) folgt dann daraus, dassd dir überlegst hast, wie c) verteilt ist.

Dann lass mal hören...

06.02.2010, 17:27

hxh

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Danke für die ausführliche Antwort .

zu 2) klar hatte ich vergessen dass es positiv sein muss, aber das ist kein Problem da die ZV >0 wegen der exponentialfunktion ist,dann ist auch das Integral >0 . (gibts einen Satz dazu den hatten wir auch mal)

zu 1)

Q(A) = E ( \Lambda )

wenn man nun zeigt dass Lambda ein Martingal ist, sollte das ja auch reichen ?

06.02.2010, 18:00

Royal Tomek

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Wenn du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ein Martingal ist, dann hast irgendwelche Superkräfte, da $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ nichtmal von der Zeit abhängt.

Ich find meinen Lösungsansatz auch schnell nachvollziehbar.

Aber wenn man es unbedingt so möchte, dann kannst dir einen Prozess $\begin{eqnarray*} \Lambda(t) \end{eqnarray*}$ definieren, wo du statt $\begin{eqnarray*} B_T \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ hast und statt $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt aus den Voraussetzungen sofort $\begin{eqnarray*} \Lambda(0)=1 \end{eqnarray*}$ P-fs. Dann musst halt nur mehr nachweisen, dass der Prozess wirklich ein Martingal ist.

06.02.2010, 18:22

hxh

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ahh ok verstanden , wollte es mir wohl doch zu einfach machen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} B_T \end{eqnarray*}$ solle ja $\begin{eqnarray*} N(0,\sigma^2 T) \end{eqnarray*}$ verteilt sein, aber die Angaben in der Aufgabe verwirren mich.

Ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{\nu}{\sigma^2} B_T ~ N(0, \frac{\nu^2}{\sigma^2} T ) \end{eqnarray*}$

06.02.2010, 18:55

Royal Tomek

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Sollte passen... für den nächsten Schritt schau dir an, wie die Lognormalverteilung definiert ist und wie ihr EW ausschaut (findest alles bei Wikipedia) bzw kannst es dir natürlich selber herleiten, wennst motiviert bist Big Laugh

07.02.2010, 03:02

hxh

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Ok habs gelöst, wenn X Normalverteilt ist mit $\begin{eqnarray*} (\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} E(e^X ) = e^{\mu+1/2 \sigma^2 } \end{eqnarray*}$ . Damit ist das dann schnell gezeigt smile

Kurz noch zur Additivität
disjunkte Vereinigung der A_n

$\begin{eqnarray*} \cup Q(A_n) = \int_{\cup A_n} \Lambda dP = \int_{A_1} \Lambda dP+..+ \int_{A_\infty} \Lambda dP= \sum \int_{A_n} \Lambda dP \end{eqnarray*}$

weil halt P ein W-Maß ist, muss ich da noch was beachten, weil ich doch bedenken dabei habe verwirrt

?

Mit der Verteilung hänge ich grade wie meinst du das ?

07.02.2010, 12:43

Royal Tomek

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Du meinst wahrscheinlich nicht $\begin{eqnarray*} \bigcup Q(A_n) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} Q(\bigcup A_n) \end{eqnarray*}$ . Der erste Ausdruck macht gar keinen Sinn, da du dort ja numerische Werte vereinigen würdest und nicht Mengen.

Die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Additivität sollte schon so passen. Da die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ disjunkt sind, kannst die Integrale aufspalten und am Schluss hast halt $\begin{eqnarray*} =\sum_{n\geq 1}Q(A_n) \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Die Positivität folgt eben auch sofort und damit bist fertig, oder gibts noch was?

07.02.2010, 13:24

hxh

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Positivität hab ich ein paar post davor begründet ist recht einfach smile

Und ja hab mich da verschrieben smile

Vielen Dank für die Hilfe, der Tipp mit der Verteilung war echt super smile

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