Brauche Hilfe zu Matrizen (Dim, Invertierbarkeit,...) allgemein

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lex1 Auf diesen Beitrag antworten »
Brauche Hilfe zu Matrizen (Dim, Invertierbarkeit,...) allgemein
Hallo zusammen,
bin neu hier im Forum und habe im Moment große Probleme beim Verständnis zur lin. Algebra....

Gerade bei Matrizen, verstehe ich nicht, wie man die Invertirebarkeit herausfindet. Ich weiß zwar, wie man eine Inverse Matrix zu einer gegebenen Matrix berechnet (also hinter die Matrix Einsen in Stufenform, der Rest Nullen un dann die gegebene Matrix auf Stufenform umformen) allerdings hatten wir das meines Wissens noch nicht in der Vorlesung, sondern ich bin eher zufällig beim Lernen darüber gestolpert.

Desweiteren ist mir nicht ganz klar, warum die Anzahl der Spalten einer Matrix A die Dimension der Matrix A, allerdings die unabhängigen Vektoren der Matrix B ( A->B), also der "reduzierten" Matrix den rang A angeben, weil wir doch nur die Matrix A umgeformt haben?!

Bei Kern ist mir alles klar, allerdings wollte ich noch fragen, ob man allgemein sagen kann, dass wenn eine Matrix drei Spalten hat, aber Zeilenanzahl > Spaltenanzahl, dass die Dim (A) = 3?

Das wars von mir, hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben.
Wünsch euch noch ein schönes entspanntes Wochenende.
Grüße

Martin
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe zu Matrizen (Dim, Invertierbarkeit,...) allgemein
Deine Dimensionsdefinition einer Matrix erscheint mir seltsam. Könntest du die mal angeben?

Zur Invertierbarkeit: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat (Invertierbarkeit ist hier nur definiert für quadratische Matrizen).
Kannst du mir erklären warum?
Weißt du, was der Rang einer Matrix ist?

Gruß
MI
lex1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey MI,
vielen Dank für deine schnellen Antwort!!!

also die Dimension einer Matrix ist doch die Anzahl der lin. Unabhängigen Vektoren, also der Basis, oder?
Und vollen Rang muss die Matrix doch haben, damit ich sie dann später mit der invertierten Matrix multiplizieren kann und Zeilenrang der ersten Matrix = Spaltenrang der zweiten übereinstimmt oder?

Der Rang einer Matrix ist, so viel ich weiß, die Dimension des Bildes. Also sei A eine Matrix und A->B die lineare Abbildung, die ich durch umschreiben in Zeilenform bekomme, dann ist der Rang des Bildes doch die Anzahl der Zeilen, sprich Anzahl der l.u. Vektoren?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe in deiner Definition der Dimension keinen Unterschied zum Rang. Hast du eine formale Definition aus der Vorlesung? Mir selbst ist der Begriff höchstens in der Form "Anzahl Zeilen x Anzahl Spalten" untergekommen, also einfach der Größe der Matrix.

Der Rang der Matrix entspricht der Dimension des Bildes, das ist richtig. Durch Zeilenumformungen nach Gauß (oder Spaltenumformungen) änderst du den Rang einer Matrix nicht.

Der Grund, warum eine Matrix vollen Rang haben muss, damit sie invertierbar ist (also links UND Rechtsinverse besitzt) ist aber ein anderer.
Dazu musst du überlegen: Wann ist eine Abbildung invertierbar?

Gruß
MI
lex1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimensionsformel: dim(V) = dim ker(F) + dim F(V) Also Dimension des Vektorraums, aus dem durch eine lin. Funktion auf einen UVR abgebilet wird = Dimension des Kerns, d.h. Elemente des Urbilds, die auf Null abgebildet werden + Dimension des Bildes von (V).

Zitat:
"Durch Zeilenumformungen nach Gauß (oder Spaltenumformungen) änderst du den Rang einer Matrix nicht."


Das verstehe ich nicht. Gegeben ist doch immer eine Matrix, die ich mit der Zeilenumformung nach Gauß in Zeilenstufenform bringe und ich so dann die Dimension des Bildes ablsesen kann oder?

Und zu der Frage, wann eine Matrix invertierbar ist, fehlt mir irgendwie der Denkansatz...kannst du mir weiterhelfen?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lex1
Die Dimensionsformel: dim(V) = dim ker(F) + dim F(V) Also Dimension des Vektorraums, aus dem durch eine lin. Funktion auf einen UVR abgebilet wird = Dimension des Kerns, d.h. Elemente des Urbilds, die auf Null abgebildet werden + Dimension des Bildes von (V).

Okay, diese Formel ist extrem wichtig und nützlich, funktioniert hier aber nur für Abbildungen von einem Vektorraum in sich selbst (Endomorphismen). Dazu gehören dann quadratische Matrizen. Wenn ihr über diese Formel die Dimension einer Matrix definiert habt, dann wäre das einfach nur die Anzahl der Zeilen - mehr nicht.

Aber insgesamt ist das Konzept der Matrixdimension denke ich hier nicht so wichtig.

Zitat:

Zitat:
"Durch Zeilenumformungen nach Gauß (oder Spaltenumformungen) änderst du den Rang einer Matrix nicht."


Das verstehe ich nicht. Gegeben ist doch immer eine Matrix, die ich mit der Zeilenumformung nach Gauß in Zeilenstufenform bringe und ich so dann die Dimension des Bildes ablsesen kann oder?

Ja, aber um das machen zu können, darf sich die Dimension des Bildes ja beim Umformen nicht ändern, sonst hast du schließlich nichts gewonnen Augenzwinkern .
Und der Gauß-Algorithmus bringt dir genau das: Er ändert nichts an der Dimension von Bild und Kern.

Zitat:

Und zu der Frage, wann eine Matrix invertierbar ist, fehlt mir irgendwie der Denkansatz...kannst du mir weiterhelfen?

Naja. Eine Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist, also injektiv und surjektiv.

Nun solltest du einen Satz kennen, der besagt, dass jede lineare Abbildung GENAU DANN injektiv ist, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Kannst du daraus ableiten, wann eine Matrix invertierbar ist?

Gruß
MI
 
 
lex1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das jetzt so einfach oder versteheich gar nichts mehr?
ich folgere mal, dass eine Matrix invertierbar ist, wenn die Dimension des Bildes geich der Dimension des Urbildes ist, also durch die Zeilenumformungen keine Zeile verloren geht? verwirrt

Jetzt verstehe ich aber nicht die Vorgehensweise bei folgenedem Problem.:
ich habe beispielsweise zwei Vektoren, die durch eine gesuchte Matrix ein bestimmtes Bild erzeugen.
Die vorgehenweise mit LGS ist mir klar und stellt kein Problem dar. Allerdings verstehe ich nicht, warum man die Lösungen der Variablen im LGS in die entstehende Matrix
I A C I
I B D I aufschreibt, und nicht

I A B I
I C D I , weil jabei einer Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Spaltenrang = Zeilenrang sein muss un ich somit nicht das Bild bekomme...
ich hoffe das ist einigermaßen verständlich ausgedrückt..Erstaunt2 Erstaunt2
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lex1
Ist das jetzt so einfach oder versteheich gar nichts mehr?
ich folgere mal, dass eine Matrix invertierbar ist, wenn die Dimension des Bildes geich der Dimension des Urbildes ist, also durch die Zeilenumformungen keine Zeile verloren geht? verwirrt

Ja. Bei den Umformungen darf keine Nullzeile entstehen. So einfach.
Anders formuliert:
Zu einer Abbildung, die einen Kern mit Dimension 1 oder größer hat, gibt es immer mehrere Vektoren, die auf die 0 abgebildet werden. Die Inverse muss diese jetzt umkehren, also müsste sie den Nullvektor auf mehrere Vektoren gleichzeitig abbilden - was offensichtlich nicht wohldefiniert ist.

Anders bedeutet dass natürlich, dass die Zeilenvektoren (oder auch die Spaltenvektoren) alle linear unabhängig sein müssen. Sonst könntest du eine Nullzeile erzeugen.
Es reicht also, wenn du nur auf Invertierbarkeit testen musst, die Matrix auf obere Dreiecksgestalt umzuformen. Und schon weißt du, ob sie invertierbar ist oder nicht.

EDIT: Mit dem Rang formuliert:
Beim Gaußen machst du ja nichts anderes, als Zeilen zu vertauschen und aufeinander zu addieren. Die Zahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren gibt dir den (Zeilen)rang der Matrix an. Da du aber ja nur die Zeilen aufeinander addierst, kannst du diese Zahl linear unabhängiger Vektoren ja nicht verändern. Daher bleibt der Rang invariant unter Gauß-Umformungen.

Dein Problem verstehe ich aber leider nicht. Könntest du ein konkretes Beispiel bringen?

Gruß
MI
lex1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage hätte ich noch. Und zwar bezüglich einer Aufgabe, die wir bei dir im Tutorium gerechnet hatten:

Zeigen Sie, dass (2+i, 3+2i) eine Basis des IR-Vektorraums C istund bestimmen Sie dafür die darstellende Matrix der Abbildung

F: C -> C, F(z) = z(konj.)

Wie man das jetzt ausrechnet ist mir klar, also dass wir erst einmal überprüfen ob die beiden Vektoren l.u. sind.
Das Problem taucht bei der

Darstellenden Matrix MBB'

auf. Und zwar ist mir nicht klar, warum wir jetzt zur Bildung der Matrix die Lösungen a,b,c,d aus den Gleichungssystemen

in der Form I.)
ac
bd

aufschreiben und nicht II.)
ab
cd
weil wenn ich I.) wie in unserem Beispiel mit der Basis (1+7i,3-i)
multipliziere komme ich nicht auf
_
z

Ist jetzt ein bisschen lang geworden, aber so ists irgendwie übersichtlicher.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Da rächt sich jetzt wieder, dass meine Uni eine andere Notation für alles hat...

Vielleicht habt ihr da ja auch einen Fehler gemacht? Theoretisch solltest du ja am Ende eine Matrix haben, sodass
, wobei das natürlich in der etwas seltsamen Basis ist Augenzwinkern .

Die Frage ist aber, wie genau ihr gerechnet habt. Da ich das gerade nicht sehe, kann ich leider auch kein vernünftiges Statement dazu abgeben.

Gruß
MI
lex1 Auf diesen Beitrag antworten »

mmh, hat sich irgendwie geklärt...hatte nen kleinen Denkfehler drin.
Ich dank dir für deine Hilfe!!!smile
Gott Gott Gott
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wunderbar. Wenn man den Fehler selbst findet, ist's noch mal so schön smile .
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