Taylorreihe für gebrochenrationale Funktion

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TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe für gebrochenrationale Funktion
Servus Leute,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Ich soll die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt angeben und den Konvergenzradius bestimmen.

,

Ich erkenne das System in den Ableitungen noch nicht so ganz.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe für gebrochenrationale Funktion
du musst ja nicht direkt eine Vorschrift für die n-te Ableitung angeben, sondern nur ein System der Werte der Ableitungen für finden. Die ersten drei Ableitungen zeigen schon nen kleines Bild. Ich rechne ma fix weiter.
 
 
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab bei Geogebra geschaut. Für x=1 ergeben sich dann die Werte der Ableitungen: (0. Ableitung zuerst)

1/2, 0, 1/2, 0, 3, 0, 45

Die ungeraden Ableitungen scheinen immer 0 zu sein.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte es mir auf ner anderen Seite ableiten lassen, die ungeraden scheinen wirklich immer null zu sein. und für die geraden kommen solche Werte raus ja. Musst du nur noch nen zusammenhang zwischen der Zahlenfolge und den n-ten Ableitungen finden, dann hast du ja schonmal nen großen Teil für die Taylorentwicklung fertig.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit welchem Programm/ Auf welcher Seite hast du denn die Ableitungen ausrechnen lassen?
Ich find diesen Zusammenhang nur leider nicht. Man muss nur diejenigen Summanenden betrachten, wo (-2x+2) wegfällt, also hoch 0 ist.
Ich kann ja mal die Exponenten als Kette aufschreiben:

0
1
20
311
422020
5331311311

Aus der 0 wird die 1 und aus einer Zahl ungleich 0 werden zwei Zahlen, nämlich die um 1 größere und die um 1 kleinere.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

So da bin ich wieder. Also ich habe die Ableitungen http://www.mathetools.de/differenzieren/ hier ausrechnen lassen, die Seite ist sogar in der Lage, die Terme so anzuordnen und zu vereinfachen, dass man etwas ablesen kann. Ich denke ich kann hier drauf verweisen, da die Seite selbst das Matheboard als Link bewirbt.

Ich hab jetzt mal die ersten 6 ausrechnen lassen. Sei und . Dann haben die ersten 6 Ableitungen ff. Struktur.






.

Man kann wie man schon sieht für ungerade Ableitungen an der Stelle die Ableitung induktiv Null annehmen. Für die geraden Ableitungen zeigt sich, dass das erste Glied das einzige ist, welches den Faktor b nicht enthält der für gleich 0 ist. Die restlichen Summanden werden alle Null, man könnte also in der n-ten geraden Ableitung annehmen, dass die n-te Ableitung an der Stelle 1 aus einem Summanden besteht, der wie es aussieht Fakultäten enthält und der Rest Null wird. Ich denke damit sollte man einen Zusammenhang für die n-te Ableitung an der Stelle 1 erhalten.

smile
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Vermutung: wenn n gerade, sonst 0. Sehr interessante Aufgabe, ich hoffe ich hab nicht schon zuviel mitgeholfen smile
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! smile

Dann erhalten wir:



Die Taylorreihe ist somit:



EDIT: Ah, du hast auch was geschrieben. Du meinst doch sicherlich statt , oder?
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht wohl ganz danach aus smile
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der Konvergenzradius 2? Kann man da einfach mit der 2er-Potenz rechnen? Also:

crosell Auf diesen Beitrag antworten »

ja an der stelle hab ich mich vertippt, meinte natürlich . Der Konvergenzradius passt denke ich nicht. Da sein muss, nur erstmal anhand der Konvergenzbedingungen innerhalb des Konvergenzradius. Auf dem Rand muss dann nochmal extra untersucht werden.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da hab ich nicht gescheit nachgedacht.

Ich forme die Taylorreihe einfach etwas um:



Jetzt haben wir eine geometrische Reihe, die konvergiert, wenn





Dann ist der Konvergenzradius also ?

EDIT: Dieser Radius lässt sich schon vermuten, indem man sich anschaut, wo die Polstellen liegen, nämlich bei und .
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Jap nach der Umformung steht ne schöne geometrische Reihe da und die Betrachtungen passen auch. Wie du schon im Edit gesagt hast, die Lösungen von liegen bei und, damit ist konvergent, kann man diesen Radius noch um die Randpunkte erweitern?
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, kann man nicht, weil dann jeder Summand 1 ist und bei unendlich vielen Summanden gehts halt gegen unendlich.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt, hatte mich vorhin verguckt, sieht man aber in der Darstellung als geometrische Reihe sehr gut smile
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe!

Bist du bereit für die Taylorreihe von arcsin(x)? Big Laugh
Der Entwicklungspunkt ist 0.
Nach ein bisschen rumbasteln hab ich raus:

http://is.gd/7Q9hI
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

LOL Hammer ich glaub für heute hab ich erstmal genug "geboarded". Helfen tue ich gern, aber nur bei Unklarheiten Augenzwinkern Versuch dich erstmal selbst dran ^^
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich schon, siehe oben Lehrer
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also wenn ich dein Produkt in der Reihe umsetze komme ich auf andere Werte als die Ableitungen an der Stelle hergeben. Ich geb dir mal die Folge die ich bisher ermittelt habe:












Wenn man nach Wikipedia geht müsste das durch nen speziellen Ausdruck für Fakultäten namens Doppelfakultät ausgedrückt werden können. Ich habs nen bissl probiert, sieht so aus als könnte man wirklich mit ner speziellen "Lückenfakultät" und deren Quadrat was machen Augenzwinkern
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, für n=1 ergibt sich dann bei mir:



für n=2:



für n=3:



Die Zähler stimmen doch überein.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich hätte mir das noch genauer anschauen müssen, du hast deine Reihe ja verschoben und fängst mit der 3. Ableitung an, dann passen die Zähler und die ersten Glieder absolut smile Schöne Reihe muss man schon sagen smile
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile

Wie bestimme ich denn jetzt den Konvergenzradius LOL Hammer
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst würde ich vorschlagen, dass du deine Reihe erweiterst, denn auch für entsteht der richtige Term. Warum?
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, dann geht halt k von 1 bis 0. Geht das? Dann existiert das Produkt nicht.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Doch das ist das leere Produkt, so wie für Summen die Konvention besteht, dass das neutrale Element bzgl. der Addition ensteht, wenn der Summationsindex oben kleiner ist als unten, gibt es das auch für Produkte. Es entsteht dann das neutrale Element bzgl. der Multiplikation Augenzwinkern
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah danke, nicht schlecht. Dann ist das leere Produkt also 1 und wir können das x mit reinziehen und n von 0 beginnen lassen.

crosell Auf diesen Beitrag antworten »

So is das wohl ^^

Konvergenzradius würd ich mal mit QK probieren, habs selbst noch nich versucht, aber mit Fakultät drin macht das sicherlich Sinn.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man den Konvergenzradius auch mit dieser Methode bestimmen, wenn statt vorliegt?

Im letzten Fall hatten wir ja 2n statt n und da wär ich mit dem QK auf 2 und nicht auf Wurzel2 gekommen, außer ich hätte es so gemacht:

crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm klingt vllt. komisch, nachdem wir herausgefunden haben, dass man den Index bei losgehen lassen kann, wäre es jetzt vllt. einfach sinnvoll, eine Indexverschiebung auf 1 zu machen, da sich die Reihe dann vereinfacht und man den Konvergenzradius gegen abschätzen kann.

Mal visualsiert, da die Reihe über die wir die ganze Zeit sprechen hier nirgendwo mal auftaucht:
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du jetzt die Reihe, wie ich sie am Anfang hatte? Da ist nämlich drin und ich glaub, du willst, dass ich daraus mache.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

naja du hast ja nicht ganz genau die gleiche Reihe, da du kein noch zur Reihe addierst, weil wir ja rausgefunden haben, dass man das gar nicht muss. Durch die Verschiebung ändern sich ja nur die Indizes alle, aber in einer geeigneten Variante.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir von 0 auf 1 verschieben, kriegen wir:

crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Hammer ich sollte mir das echt mal hinschreiben. Natürlich hast recht, ich hatte das im Kopf gemacht,dabei natürlich nicht beachtet, dass man dann keinen wirklich einfacheren Ausdruck bekommt. Also vergiss das. Aber wie sieht es nun mit dem Quotientenkriterium aus, ich meine nicht das abgewandelte für die Konvergenz von Potenzreihen sondern das normale für Reihen allgemein, wende das darauf mal an, vllt. kommt was schönes Raus, immerhin sollten sich da schon viele Dinge kürzen denke ich.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalten wir einen Bruch:



Für erhalten wir dann:
Das muss jetzt kleiner als 1 sein, damit die Reihe konvergiert.

Somit ist der Konvergenzradius 1.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Indexverschiebung war doch Quatsch von mir. Du müsstest folgendes Betrachten mit , was natürlich das gleiche ist, wie dein Vorschlag nur für die Reihe ab *hust*
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal oben smile

Wenn ich dann nachher n gegen unendlich laufen lasse, spielt es ja keine Rolle, ob ich oder nehme.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nix gesagt, stimmt auffallend LOL Hammer
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, du hast mir sehr weitergeholfen. Freude
Nur in der Klausur hab ich dann nicht so ein Programm, wo man sich die ganzen Ableitungen ausspucken lassen kann Big Laugh
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich auch nich, schreib nächste Woche auch Analysis I Prost Bei dem Rechenaufwand kann man davon ausgehen, dass sowas nicht abverlangt werden kann. ^^
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